Mostre que as seguintes funções
são invertíveis e indique o domínio e o contradomínio de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função
, onde
, é invertível. A gente vai trabalhar com o conceito de função invertível, entender o domínio e o contradomínio tanto de
quanto da sua inversa
. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma função invertível e como encontrar a função inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função invertível. Uma função é invertível se ela for injetora (cada valor de
tem no máximo um valor de
) e sobrejetora (cada valor de
no contradomínio tem pelo menos um
no domínio). No nosso caso,
, mas com a restrição
. Essa restrição é importante porque, sem ela, a função
não seria invertível (não seria injetora) já que tanto
quanto
dão o mesmo resultado.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função inversa
. Para isso, seguimos os passos:
- Troca de variáveis:
- Isolando
:
Mas aqui precisamos lembrar da restrição
. Como
é menor ou igual a zero, a raiz que usamos deve ser a negativa. Então:
Passo 4
Vamos identificar o domínio e o contradomínio de
e
:
-
Domínio de
: É o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Aqui, , então o domínio de é . -
Contradomínio de
: São todos os possíveis valores de . Como e , os valores de são . -
Domínio de
: É o contradomínio de , ou seja, . -
Contradomínio de
: É o domínio de , que é .
Resposta
A função
, com
, é invertível. O domínio de
é
e o seu contradomínio é
. A função inversa é
, com domínio
e contradomínio
.
Exercícios relacionados
Mostre que a função
possui máximo no ponto
e mínimo em
.
Mostre que
possui máximo no ponto
.
Mostre que a função
não possui extremos.
Mostre que as seguintes funções
são invertíveis e indique o domínio e o contradomínio de
e
.