Mostre que as seguintes funções são invertíveis e indique o domínio e o contradomínio de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função , onde , é invertível. A gente vai trabalhar com o conceito de função invertível, entender o domínio e o contradomínio tanto de quanto da sua inversa . Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma função invertível e como encontrar a função inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função invertível. Uma função é invertível se ela for injetora (cada valor de tem no máximo um valor de ) e sobrejetora (cada valor de no contradomínio tem pelo menos um no domínio). No nosso caso, , mas com a restrição . Essa restrição é importante porque, sem ela, a função não seria invertível (não seria injetora) já que tanto quanto dão o mesmo resultado.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função inversa . Para isso, seguimos os passos:
  1. Troca de variáveis:
  2. Isolando :
Mas aqui precisamos lembrar da restrição . Como é menor ou igual a zero, a raiz que usamos deve ser a negativa. Então:

Passo 4

Vamos identificar o domínio e o contradomínio de e :
  • Domínio de : É o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Aqui, , então o domínio de é .
  • Contradomínio de : São todos os possíveis valores de . Como e , os valores de são .
  • Domínio de : É o contradomínio de , ou seja, .
  • Contradomínio de : É o domínio de , que é .

Resposta

A função , com , é invertível. O domínio de é e o seu contradomínio é . A função inversa é , com domínio e contradomínio .

Exercícios relacionados

Mostre que a função possui máximo no ponto e mínimo em .
Mostre que possui máximo no ponto .
Mostre que a função não possui extremos.
Mostre que as seguintes funções são invertíveis e indique o domínio e o contradomínio de e .