Sejam A e B dois conjuntos finitos de n e m elementos respectivamente. Se A ∩ B tem k elementos, mostre que A ∪ B tem n + m - k elementos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois conjuntos finitos, e , que têm e elementos respectivamente. A interseção desses conjuntos, ou seja, os elementos que estão em ambos e , tem elementos. Nosso objetivo é provar que a união desses dois conjuntos, , tem exatamente elementos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de teoria de conjuntos, especificamente a fórmula para a união de dois conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a união de dois conjuntos. Quando juntamos e , somamos todos os elementos de com todos os elementos de . Se algum elemento estiver nos dois conjuntos, ele é contado duas vezes nessa soma. Por isso, precisamos ajustar isso para não contar os elementos comuns duas vezes.

Passo 3

A fórmula que usamos para a união de dois conjuntos é:
Aqui, representa o número de elementos em , o número de elementos em , e o número de elementos que estão nos dois conjuntos ao mesmo tempo.

Passo 4

Substituindo os valores que temos no enunciado:
Isso mostra que a união dos conjuntos e tem elementos, pois estamos subtraindo os elementos que foram contados duas vezes na soma inicial.

Resposta

Então, tem elementos.

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