Sejam
e
dois conjuntos finitos de
e
elementos respectivamente. Se
tem
elementos, mostre que
tem
elementos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois conjuntos finitos,
e
, que têm
e
elementos respectivamente. A interseção desses conjuntos, ou seja, os elementos que estão em ambos
e
, tem
elementos. Nosso objetivo é provar que a união desses dois conjuntos,
, tem exatamente
elementos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de teoria de conjuntos, especificamente a fórmula para a união de dois conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a união de dois conjuntos. Quando juntamos
e
, somamos todos os elementos de
com todos os elementos de
. Se algum elemento estiver nos dois conjuntos, ele é contado duas vezes nessa soma. Por isso, precisamos ajustar isso para não contar os elementos comuns duas vezes.
Passo 3
A fórmula que usamos para a união de dois conjuntos é:
Aqui,
representa o número de elementos em
,
o número de elementos em
, e
o número de elementos que estão nos dois conjuntos ao mesmo tempo.
Passo 4
Substituindo os valores que temos no enunciado:
Isso mostra que a união dos conjuntos
e
tem
elementos, pois estamos subtraindo os elementos que foram contados duas vezes na soma inicial.
Resposta
Então,
tem
elementos.
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;
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Seja
. Construa uma função injetiva
e uma função sobrejetiva
.