Resolva a equação diferencial
e sujeita às condições:
-
-
Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre que
se
.; b) Calcule a transformada de Fourier
c) Utilize os resultados anteriores para obter a forma integral da solução, justifique cada passo da solução; d) Deduza a função de Green do problema.
Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
, onde
, e as condições de contorno são que
tende a zero quando
vai para
e para
. Isso envolve conceitos de transformada de Fourier e função de Green. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Fourier às derivadas, calcular a transformada de funções exponenciais e usar essas informações para encontrar a solução da equação e a função de Green associada.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a transformada de Fourier da segunda derivada de uma função
, que está no espaço
(funções suaves com suporte compacto), é dada por
.
A transformada de Fourier de uma derivada é uma propriedade importante. Sabemos que:
Aplicando novamente a derivada, temos:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a transformada de Fourier da função
, onde
. A transformada de Fourier dessa função é:
Devido à simetria da função, podemos simplificar a integral:
Então:
Passo 4
Com os resultados anteriores, podemos encontrar a forma integral da solução da equação diferencial. Aplicando a transformada de Fourier na equação
, temos:
Usando a propriedade que mostramos no Passo 2:
Simplificando:
Portanto:
Agora, aplicando a transformada inversa de Fourier:
Passo 5
Finalmente, vamos deduzir a função de Green do problema. A função de Green,
, satisfaz a equação:
Aplicando a transformada de Fourier:
Simplificando:
Portanto:
Usando o resultado do Passo 3, a transformada inversa é:
Resposta
A solução da equação diferencial
com
e as condições de contorno dadas é dada por:
A função de Green associada ao problema é: