Resolva a equação diferencial -y^prime prime+a y=f(x), com a>0 e sujeita às condições:
  1. lim x infty y(x)=0
  2. lim x -infty y(x)=0
    Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre que Fphi(x)^prime prime=(i w)^2 Fphi(x) se phi(x) in C0^infty.; b) Calcule a transformada de Fourier Fexp (-s|x|) ; c) Utilize os resultados anteriores para obter a forma integral da solução, justifique cada passo da solução; d) Deduza a função de Green do problema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial -y'' + a y = f(x), onde a > 0, e as condições de contorno são que y(x) tende a zero quando x vai para +infty e para -infty. Isso envolve conceitos de transformada de Fourier e função de Green. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Fourier às derivadas, calcular a transformada de funções exponenciais e usar essas informações para encontrar a solução da equação e a função de Green associada.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a transformada de Fourier da segunda derivada de uma função phi(x), que está no espaço C0^infty (funções suaves com suporte compacto), é dada por Fphi(x)'' = (i w)^2 Fphi(x).
A transformada de Fourier de uma derivada é uma propriedade importante. Sabemos que:
Fphi'(x) = i w Fphi(x)
Aplicando novamente a derivada, temos:
Fphi''(x) = Fddx phi'(x) = i w Fphi'(x) = i w (i w Fphi(x)) = -w^2 Fphi(x)
Portanto:
Fphi''(x) = (i w)^2 Fphi(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Fourier da função exp(-s |x|), onde s > 0. A transformada de Fourier dessa função é:
Fexp(-s |x|) = integral-infty^infty e^-s |x| e^-i w x dx
Devido à simetria da função, podemos simplificar a integral:
= 2 integral0^infty e^-s x cos(w x) dx = 2 ss^2 + w^2
Então:
Fexp(-s |x|) = 2 ss^2 + w^2

Passo 4

Com os resultados anteriores, podemos encontrar a forma integral da solução da equação diferencial. Aplicando a transformada de Fourier na equação -y'' + a y = f(x), temos:
- Fy'' + a Fy = Ff(x)
Usando a propriedade que mostramos no Passo 2:
- (i w)^2 Fy + a Fy = Ff(x)
Simplificando:
(w^2 + a) Fy = Ff(x)
Portanto:
Fy = Ff(x)w^2 + a
Agora, aplicando a transformada inversa de Fourier:
y(x) = F^-1 Ff(x)w^2 + a = integral-infty^infty Ff(x)w^2 + a e^i w x dw

Passo 5

Finalmente, vamos deduzir a função de Green do problema. A função de Green, G(x), satisfaz a equação:
- G''(x) + a G(x) = de
Aplicando a transformada de Fourier:
- (i w)^2 FG(x) + a FG(x) = 1
Simplificando:
(w^2 + a) FG(x) = 1
Portanto:
FG(x) = 1w^2 + a
Usando o resultado do Passo 3, a transformada inversa é:
G(x) = 12 raiza e^-raiza |x|

Resposta

A solução da equação diferencial -y'' + a y = f(x) com a > 0 e as condições de contorno dadas é dada por:
y(x) = 12 raiza integral-infty^infty e^-raiza |x - xi| f(xi) dxi
A função de Green associada ao problema é:
G(x) = 12 raiza e^-raiza |x|

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