Resolva a equação diferencial e sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre que se .; b) Calcule a transformada de Fourier c) Utilize os resultados anteriores para obter a forma integral da solução, justifique cada passo da solução; d) Deduza a função de Green do problema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial , onde , e as condições de contorno são que tende a zero quando vai para e para . Isso envolve conceitos de transformada de Fourier e função de Green. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Fourier às derivadas, calcular a transformada de funções exponenciais e usar essas informações para encontrar a solução da equação e a função de Green associada.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a transformada de Fourier da segunda derivada de uma função , que está no espaço (funções suaves com suporte compacto), é dada por .
A transformada de Fourier de uma derivada é uma propriedade importante. Sabemos que:
Aplicando novamente a derivada, temos:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Fourier da função , onde . A transformada de Fourier dessa função é:
Devido à simetria da função, podemos simplificar a integral:
Então:

Passo 4

Com os resultados anteriores, podemos encontrar a forma integral da solução da equação diferencial. Aplicando a transformada de Fourier na equação , temos:
Usando a propriedade que mostramos no Passo 2:
Simplificando:
Portanto:
Agora, aplicando a transformada inversa de Fourier:

Passo 5

Finalmente, vamos deduzir a função de Green do problema. A função de Green, , satisfaz a equação:
Aplicando a transformada de Fourier:
Simplificando:
Portanto:
Usando o resultado do Passo 3, a transformada inversa é:

Resposta

A solução da equação diferencial com e as condições de contorno dadas é dada por:
A função de Green associada ao problema é:

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial , sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre que ; b) Calcule as transformadas de Laplace e ; c) Mostre que iw se . d) Utilize os resultados anteriores para obter a forma integral da solução, justifique cada passo da solução; e) Deduza a função de Green do problema.
Seja
Determine e .
Mostre que é solução da EDO , onde é o delta de Dirac e a função degrau.
Mostre que a função de Green obtida na questão o1 é solução da EDO .