Suponha que
seja uma função continuamente diferenciável em
contendo o ponto fixo
de
, sendo uma função de ponto fixo para a equação
. Mostre que se
, então existe um
tal que se a condição inicial
satisfizer
, então a sequência gerada pelo MAS converge para a raiz de
(ou do ponto fixo de
).
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos uma função continuamente diferenciável
no intervalo
que possui um ponto fixo
(ou seja,
). Queremos demonstrar que se
, então existe um
tal que, se a condição inicial
satisfizer
, a sequência gerada pelo Método de Aproximação Sequencial (MAS) converge para
, a raiz de
.
Para resolver isso, precisaremos entender conceitos de ponto fixo, condições de convergência de métodos iterativos e o papel da derivada na estabilidade da iteração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto fixo. Um ponto
é dito fixo para a função
se
. O método de aproximação sequencial (MAS) utiliza essa propriedade para encontrar raízes de equações da forma
ao reescrever a equação como
.
A condição
é crucial porque está relacionada à convergência do método. Se a derivada em
for menor que 1 em módulo, isso sugere que a função
é uma contração perto de
, o que facilita a convergência da sequência gerada pelo MAS.
Passo 3
Vamos utilizar o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que afirma que, se
for uma função contração em um espaço métrico completo, então ela possui um único ponto fixo e a sequência gerada por iterações de
converge para esse ponto fixo.
Para
ser uma contração, deve existir uma constante
tal que, para todos
no intervalo considerado,
A condição
nos ajuda a garantir que
é localmente uma contração ao redor de
.
Passo 4
Como
é continuamente diferenciável, podemos usar a expansão de Taylor em torno de
:
Como
, temos:
Isso implica que, perto de
,
Dado que
, podemos escolher um
tal que para todo
com
, a função
seja uma contração:
onde
.
Passo 5
Com essa escolha de
, se iniciarmos com
tal que
, então:
De maneira recursiva, para cada
,
Logo,
Como
, conforme
aumenta,
tende a zero, o que resulta em:
Portanto, a sequência
converge para
.
Passo 6
Finalmente, concluímos que, sob a condição
, existe um
tal que, se a condição inicial
satisfizer
, a sequência gerada pelo Método de Aproximação Sequencial (MAS) converge para o ponto fixo
, que é a raiz de
.
Resposta
Existe um
tal que, se
, a sequência gerada pelo MAS converge para a raiz de
(o ponto fixo
).
Exercícios relacionados
Seja
. Localize graficamente uma vizinhança para as raízes e considere o seguinte processo iterativo:
(a) A sequência gerada pelo processo iterativo é convergente para a raiz negativa de
? Justifique usando os critérios de convergência do método das aproximações sucessivas.
(b) Em caso afirmativo, determine a raiz negativa usando o processo dado .
© A sequência gerada pelo processo acima converge para a raiz positiva de ? Justifique
(b) Em caso afirmativo, determine a raiz negativa usando o processo dado
© A sequência gerada pelo processo acima converge para a raiz positiva de
Use o MAS (com as funções adequadas) para encontrar todas as raízes de
com um erro
.
Seja
. Localize graficamente uma vizinhança para as raízes de
.
(a) Resolva pelo método da bisseção com 6 iterações.
(b) Com erro da ordem de , determine a raiz positiva aproximada, pelo Método das Aproximações Sucessivas (ponto fixo), isto é, encontre uma função
tal que
na qual o processo iterativo
convirja. A condição inicial é de sua escolha.
(a) Resolva pelo método da bisseção com 6 iterações.
(b) Com erro da ordem de
Mostre que a função
tem um único ponto fixo em
. Use o MAS para encontrá-lo com um erro
.