Suponha que seja uma função continuamente diferenciável em contendo o ponto fixo de , sendo uma função de ponto fixo para a equação . Mostre que se , então existe um tal que se a condição inicial satisfizer , então a sequência gerada pelo MAS converge para a raiz de (ou do ponto fixo de ).

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos uma função continuamente diferenciável no intervalo que possui um ponto fixo (ou seja, ). Queremos demonstrar que se , então existe um tal que, se a condição inicial satisfizer , a sequência gerada pelo Método de Aproximação Sequencial (MAS) converge para , a raiz de .
Para resolver isso, precisaremos entender conceitos de ponto fixo, condições de convergência de métodos iterativos e o papel da derivada na estabilidade da iteração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto fixo. Um ponto é dito fixo para a função se . O método de aproximação sequencial (MAS) utiliza essa propriedade para encontrar raízes de equações da forma ao reescrever a equação como .
A condição é crucial porque está relacionada à convergência do método. Se a derivada em for menor que 1 em módulo, isso sugere que a função é uma contração perto de , o que facilita a convergência da sequência gerada pelo MAS.

Passo 3

Vamos utilizar o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que afirma que, se for uma função contração em um espaço métrico completo, então ela possui um único ponto fixo e a sequência gerada por iterações de converge para esse ponto fixo.
Para ser uma contração, deve existir uma constante tal que, para todos no intervalo considerado,
A condição nos ajuda a garantir que é localmente uma contração ao redor de .

Passo 4

Como é continuamente diferenciável, podemos usar a expansão de Taylor em torno de :
Como , temos:
Isso implica que, perto de ,
Dado que , podemos escolher um tal que para todo com , a função seja uma contração:
onde .

Passo 5

Com essa escolha de , se iniciarmos com tal que , então:
De maneira recursiva, para cada ,
Logo,
Como , conforme aumenta, tende a zero, o que resulta em:
Portanto, a sequência converge para .

Passo 6

Finalmente, concluímos que, sob a condição , existe um tal que, se a condição inicial satisfizer , a sequência gerada pelo Método de Aproximação Sequencial (MAS) converge para o ponto fixo , que é a raiz de .

Resposta

Existe um tal que, se , a sequência gerada pelo MAS converge para a raiz de (o ponto fixo ).

Exercícios relacionados

Seja . Localize graficamente uma vizinhança para as raízes e considere o seguinte processo iterativo:
(a) A sequência gerada pelo processo iterativo é convergente para a raiz negativa de ? Justifique usando os critérios de convergência do método das aproximações sucessivas.
(b) Em caso afirmativo, determine a raiz negativa usando o processo dado .
© A sequência gerada pelo processo acima converge para a raiz positiva de ? Justifique
Use o MAS (com as funções adequadas) para encontrar todas as raízes de com um erro .
Seja . Localize graficamente uma vizinhança para as raízes de .
(a) Resolva pelo método da bisseção com 6 iterações.
(b) Com erro da ordem de , determine a raiz positiva aproximada, pelo Método das Aproximações Sucessivas (ponto fixo), isto é, encontre uma função tal que na qual o processo iterativo convirja. A condição inicial é de sua escolha.
Mostre que a função tem um único ponto fixo em . Use o MAS para encontrá-lo com um erro .