Seja g(x) = 3 x^2 + sen(x) - 6. Localize graficamente uma vizinhança para as raízes de g(x).
(a) Resolva pelo método da bisseção com 6 iterações.
(b) Com erro da ordem de varepsilon = 0.001, determine a raiz positiva aproximada, pelo Método das Aproximações Sucessivas (ponto fixo), isto é, encontre uma função phi(x) tal que x = phi(x) na qual o processo iterativo x_n+1 = phi(x_n) convirja. A condição inicial é de sua escolha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função e pede para encontrar as raízes dessa função usando dois métodos numéricos: o método da bisseção e o método das aproximações sucessivas (ponto fixo). Para isso, precisamos entender um pouco de análise gráfica e métodos numéricos para encontrar raízes de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no gráfico de para identificar onde as raízes podem estar. As raízes são os pontos onde o gráfico cruza o eixo , ou seja, onde . Olhando para a função , sabemos que é uma parábola que abre para cima, oscila entre -1 e 1, e temos uma constante -6. Isso sugere que haverá duas raízes reais, uma positiva e outra negativa.

Passo 3

Agora, vamos usar o método da bisseção para encontrar uma das raízes, digamos, a raiz positiva. O método da bisseção funciona escolhendo um intervalo onde a função troca de sinal (ou seja, e têm sinais opostos) e, em seguida, dividindo esse intervalo ao meio repetidamente para aproximar a raiz.

Passo 4

Primeiro, precisamos escolher um intervalo inicial onde muda de sinal. Experimentando alguns valores:
  • Para :
  • Para :
Como e , sabemos que há uma raiz entre 1 e 2.

Passo 5

Vamos começar as iterações da bisseção:
Iteração 1:
  • Intervalo: [1, 2]
  • Ponto médio:
  • Como , a nova intervalo é [1, 1.5]

Passo 6

Iteração 2:
  • Intervalo: [1, 1.5]
  • Ponto médio:
  • Como , a nova intervalo é [1.25, 1.5]

Passo 7

Iteração 3:
  • Intervalo: [1.25, 1.5]
  • Ponto médio:
  • Como , a nova intervalo é [1.25, 1.375]

Passo 8

Iteração 4:
  • Intervalo: [1.25, 1.375]
  • Ponto médio:
  • Como , a nova intervalo é [1.25, 1.3125]

Passo 9

Iteração 5:
  • Intervalo: [1.25, 1.3125]
  • Ponto médio:
  • Como , a nova intervalo é [1.28125, 1.3125]

Passo 10

Iteração 6:
  • Intervalo: [1.28125, 1.3125]
  • Ponto médio:
  • Como está muito próximo de 0, paramos aqui após 6 iterações.

Passo 11

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Queremos encontrar a raiz positiva com um erro menor que usando o Método das Aproximações Sucessivas (ponto fixo). Primeiro, precisamos reescrever a equação de forma que .

Passo 12

Escolhendo uma função adequada. Vamos rearranjar a equação:
Então, nossa função é:

Passo 13

Agora, escolhemos uma condição inicial . Vamos usar como ponto de partida, que está próximo da raiz encontrada pela bisseção.

Passo 14

Aplicamos o processo iterativo até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que .
Iteração 1:
Iteração 2:

Passo 15

Como a diferença é menor que , podemos parar as iterações. Portanto, a raiz positiva aproximada é .

Resposta

A raiz positiva aproximada de pelo método das aproximações sucessivas é .

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