Seja
. Localize graficamente uma vizinhança para as raízes de
.
(a) Resolva pelo método da bisseção com 6 iterações.
(b) Com erro da ordem de
, determine a raiz positiva aproximada, pelo Método das Aproximações Sucessivas (ponto fixo), isto é, encontre uma função
tal que
na qual o processo iterativo
convirja. A condição inicial é de sua escolha.
(a) Resolva pelo método da bisseção com 6 iterações.
(b) Com erro da ordem de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função
e pede para encontrar as raízes dessa função usando dois métodos numéricos: o método da bisseção e o método das aproximações sucessivas (ponto fixo). Para isso, precisamos entender um pouco de análise gráfica e métodos numéricos para encontrar raízes de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no gráfico de
para identificar onde as raízes podem estar. As raízes são os pontos onde o gráfico cruza o eixo
, ou seja, onde
. Olhando para a função
, sabemos que
é uma parábola que abre para cima,
oscila entre -1 e 1, e temos uma constante -6. Isso sugere que haverá duas raízes reais, uma positiva e outra negativa.
Passo 3
Agora, vamos usar o método da bisseção para encontrar uma das raízes, digamos, a raiz positiva. O método da bisseção funciona escolhendo um intervalo onde a função troca de sinal (ou seja,
e
têm sinais opostos) e, em seguida, dividindo esse intervalo ao meio repetidamente para aproximar a raiz.
Passo 4
Primeiro, precisamos escolher um intervalo inicial onde
muda de sinal. Experimentando alguns valores:
-
Para
: -
Para
:
Como
e
, sabemos que há uma raiz entre 1 e 2.
Passo 5
Vamos começar as iterações da bisseção:
Iteração 1:
- Intervalo: [1, 2]
- Ponto médio:
-
- Como
, a nova intervalo é [1, 1.5]
Passo 6
Iteração 2:
- Intervalo: [1, 1.5]
- Ponto médio:
-
- Como
, a nova intervalo é [1.25, 1.5]
Passo 7
Iteração 3:
- Intervalo: [1.25, 1.5]
- Ponto médio:
-
- Como
, a nova intervalo é [1.25, 1.375]
Passo 8
Iteração 4:
- Intervalo: [1.25, 1.375]
- Ponto médio:
-
- Como
, a nova intervalo é [1.25, 1.3125]
Passo 9
Iteração 5:
- Intervalo: [1.25, 1.3125]
- Ponto médio:
-
- Como
, a nova intervalo é [1.28125, 1.3125]
Passo 10
Iteração 6:
- Intervalo: [1.28125, 1.3125]
- Ponto médio:
-
- Como
está muito próximo de 0, paramos aqui após 6 iterações.
Passo 11
Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Queremos encontrar a raiz positiva com um erro menor que
usando o Método das Aproximações Sucessivas (ponto fixo). Primeiro, precisamos reescrever a equação
de forma que
.
Passo 12
Escolhendo uma função
adequada. Vamos rearranjar a equação:
Então, nossa função
é:
Passo 13
Agora, escolhemos uma condição inicial
. Vamos usar
como ponto de partida, que está próximo da raiz encontrada pela bisseção.
Passo 14
Aplicamos o processo iterativo
até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que
.
Iteração 1:
Iteração 2:
Passo 15
Como a diferença
é menor que
, podemos parar as iterações. Portanto, a raiz positiva aproximada é
.
Resposta
A raiz positiva aproximada de
pelo método das aproximações sucessivas é
.
Exercícios relacionados
Suponha que
seja uma função continuamente diferenciável em
contendo o ponto fixo
de
, sendo uma função de ponto fixo para a equação
. Mostre que se
, então existe um
tal que se a condição inicial
satisfizer
, então a sequência gerada pelo MAS converge para a raiz de
(ou do ponto fixo de
).
Seja
. Localize graficamente uma vizinhança para as raízes e considere o seguinte processo iterativo:
(a) A sequência gerada pelo processo iterativo é convergente para a raiz negativa de
? Justifique usando os critérios de convergência do método das aproximações sucessivas.
(b) Em caso afirmativo, determine a raiz negativa usando o processo dado .
© A sequência gerada pelo processo acima converge para a raiz positiva de ? Justifique
(b) Em caso afirmativo, determine a raiz negativa usando o processo dado
© A sequência gerada pelo processo acima converge para a raiz positiva de
Mostre que a função
tem um único ponto fixo em
. Use o MAS para encontrá-lo com um erro
.
Com relação à função
do exercício 1, verifique que as funções
(a)
(d)
(b)
(e)
satisfazem a condição do ponto fixo para a raiz da função , isto é
se, e somente se
. Usando-as como Método de Aproximações Sucessivas, faça 4 iterações de cada uma delas, com a condição inicial
. O que você observou? Usando agora o critério de análise de convergência, qual das funções
tem a convergência garantida para o método?
(a)
(d)
(b)
(e)
satisfazem a condição do ponto fixo para a raiz da função