Seja . Localize graficamente uma vizinhança para as raízes de .
(a) Resolva pelo método da bisseção com 6 iterações.
(b) Com erro da ordem de , determine a raiz positiva aproximada, pelo Método das Aproximações Sucessivas (ponto fixo), isto é, encontre uma função tal que na qual o processo iterativo convirja. A condição inicial é de sua escolha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função e pede para encontrar as raízes dessa função usando dois métodos numéricos: o método da bisseção e o método das aproximações sucessivas (ponto fixo). Para isso, precisamos entender um pouco de análise gráfica e métodos numéricos para encontrar raízes de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no gráfico de para identificar onde as raízes podem estar. As raízes são os pontos onde o gráfico cruza o eixo , ou seja, onde . Olhando para a função , sabemos que é uma parábola que abre para cima, oscila entre -1 e 1, e temos uma constante -6. Isso sugere que haverá duas raízes reais, uma positiva e outra negativa.

Passo 3

Agora, vamos usar o método da bisseção para encontrar uma das raízes, digamos, a raiz positiva. O método da bisseção funciona escolhendo um intervalo onde a função troca de sinal (ou seja, e têm sinais opostos) e, em seguida, dividindo esse intervalo ao meio repetidamente para aproximar a raiz.

Passo 4

Primeiro, precisamos escolher um intervalo inicial onde muda de sinal. Experimentando alguns valores:
  • Para :
  • Para :
Como e , sabemos que há uma raiz entre 1 e 2.

Passo 5

Vamos começar as iterações da bisseção:
Iteração 1:
  • Intervalo: [1, 2]
  • Ponto médio:
  • Como , a nova intervalo é [1, 1.5]

Passo 6

Iteração 2:
  • Intervalo: [1, 1.5]
  • Ponto médio:
  • Como , a nova intervalo é [1.25, 1.5]

Passo 7

Iteração 3:
  • Intervalo: [1.25, 1.5]
  • Ponto médio:
  • Como , a nova intervalo é [1.25, 1.375]

Passo 8

Iteração 4:
  • Intervalo: [1.25, 1.375]
  • Ponto médio:
  • Como , a nova intervalo é [1.25, 1.3125]

Passo 9

Iteração 5:
  • Intervalo: [1.25, 1.3125]
  • Ponto médio:
  • Como , a nova intervalo é [1.28125, 1.3125]

Passo 10

Iteração 6:
  • Intervalo: [1.28125, 1.3125]
  • Ponto médio:
  • Como está muito próximo de 0, paramos aqui após 6 iterações.

Passo 11

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Queremos encontrar a raiz positiva com um erro menor que usando o Método das Aproximações Sucessivas (ponto fixo). Primeiro, precisamos reescrever a equação de forma que .

Passo 12

Escolhendo uma função adequada. Vamos rearranjar a equação:
Então, nossa função é:

Passo 13

Agora, escolhemos uma condição inicial . Vamos usar como ponto de partida, que está próximo da raiz encontrada pela bisseção.

Passo 14

Aplicamos o processo iterativo até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que .
Iteração 1:
Iteração 2:

Passo 15

Como a diferença é menor que , podemos parar as iterações. Portanto, a raiz positiva aproximada é .

Resposta

A raiz positiva aproximada de pelo método das aproximações sucessivas é .

Exercícios relacionados

Suponha que seja uma função continuamente diferenciável em contendo o ponto fixo de , sendo uma função de ponto fixo para a equação . Mostre que se , então existe um tal que se a condição inicial satisfizer , então a sequência gerada pelo MAS converge para a raiz de (ou do ponto fixo de ).
Seja . Localize graficamente uma vizinhança para as raízes e considere o seguinte processo iterativo:
(a) A sequência gerada pelo processo iterativo é convergente para a raiz negativa de ? Justifique usando os critérios de convergência do método das aproximações sucessivas.
(b) Em caso afirmativo, determine a raiz negativa usando o processo dado .
© A sequência gerada pelo processo acima converge para a raiz positiva de ? Justifique
Mostre que a função tem um único ponto fixo em . Use o MAS para encontrá-lo com um erro .
Com relação à função do exercício 1, verifique que as funções
(a)
(d)
(b)
(e)
satisfazem a condição do ponto fixo para a raiz da função , isto é se, e somente se . Usando-as como Método de Aproximações Sucessivas, faça 4 iterações de cada uma delas, com a condição inicial . O que você observou? Usando agora o critério de análise de convergência, qual das funções tem a convergência garantida para o método?