Seja $R$ o retângulo $1 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 1$. Calcule $\iint_{R} f(x, y) d x d y$, sendo $f(x, y)=\frac{1}{1+x^{2}+2 x y+y^{2}}$.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular a integral dupla sobre o retângulo
definido por
e
da função
. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e técnicas de substituição para simplificar a função antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função dentro da integral. Observamos que o denominador pode ser reescrito de forma mais simples. Veja:
Então, a função fica:
Isso facilita muito nossa vida para integrar.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla com essa nova forma da função:
Vamos resolver essa integral realizando a integração em relação a
primeiro e depois em relação a
.
Passo 4
Vamos integrar com respeito a
. Para isso, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
. Quando
varia de 1 a 2,
varia de
a
. A integral em relação a
fica:
A integral de
em relação a
é conhecida, é a arctangente.
Passo 5
Calculando a integral em
:
Então, a integral dupla agora fica:
Passo 6
Agora, precisamos integrar essa diferença de arctangentes em relação a
. Vamos lembrar que a derivada de
em relação a
é
, mas aqui estamos integrando em relação a
. Podemos resolver isso observando que:
Aplicando essa fórmula para ambas as funções:
Passo 7
Calculando cada parte:
Para
:
Simplificando a parte dos logaritmos:
Então fica:
Para
:
Simplificando novamente:
Então fica:
Passo 8
Agora, unindo tudo:
Distribuindo os sinais:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando os logaritmos:
Portanto, a integral final fica:
Resposta
A integral dupla é igual a:
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“12.464ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 5509 1000”><title>f(x)=A x e^(x)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 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data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(499,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>. Determine o valor da constante <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: 0;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.697ex” height=“1.62ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -716 750 716”><title>A</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D434” d=“M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>.</div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:<br>
§ <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.254ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“16.072ex” height=“3.479ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -983.7 7103.8 1537.8”><title>f(x) = x^2 / ((-x)^3 + 3x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 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<html><head></head><body><div>Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:<br>
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:<br>
(e) <span class="math-inline ">
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