Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. A gente vai mexer com matrizes e determinantes para achar os valores de x + 2y + 3z = 17 3x + 2y + z = 11 x - 5y + z = -5 , e . Primeiro, vamos identificar o sistema que temos:
Para aplicar a Regra de Cramer, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes e os determinantes das matrizes substituindo cada coluna pelos termos constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes D = 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 1 & -5 & 1 :
det(D) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Agora, vamos calcular o determinante de det(D) = 1 times (2 times 1 - 1 times (-5)) - 2 times (3 times 1 - 1 times 1) + 3 times (3 times (-5) - 2 times 1) , que é essencial para a Regra de Cramer. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(D) = 1 times (2 + 5) - 2 times (3 - 1) + 3 times (-15 - 2)
Aplicando aos nossos valores:
det(D) = 7 - 2 times 2 + 3 times (-17)
det(D) = 7 - 4 - 51 = -48
Passo 3
Agora, vamos encontrar Dx = 17 & 2 & 3 11 & 2 & 1 -5 & -5 & 1 , que é a matriz onde substituímos a coluna de det(Dx) = 17 times (2 times 1 - 1 times (-5)) - 2 times (11 times 1 - (-5) times 1) + 3 times (11 times (-5) - 2 times (-5)) pelos termos constantes:
det(Dx) = 17 times (2 + 5) - 2 times (11 + 5) + 3 times (-55 + 10)
Calculando o determinante de det(Dx) = 17 times 7 - 2 times 16 + 3 times (-45) :
det(Dx) = 119 - 32 - 135 = -48
Passo 4
Em seguida, vamos calcular Dy = 1 & 17 & 3 3 & 11 & 1 1 & -5 & 1 , substituindo a coluna de det(Dy) = 1 times (11 times 1 - 1 times (-5)) - 17 times (3 times 1 - 1 times 1) + 3 times (3 times (-5) - 11 times 1) pelos termos constantes:
det(Dy) = 1 times (11 + 5) - 17 times (3 - 1) + 3 times (-15 - 11)
Calculando o determinante de det(Dy) = 16 - 17 times 2 + 3 times (-26) :
det(Dy) = 16 - 34 - 78 = -96
Passo 5
Agora, vamos calcular Dz = 1 & 2 & 17 3 & 2 & 11 1 & -5 & -5 , substituindo a coluna de det(Dz) = 1 times (2 times (-5) - 11 times (-5)) - 2 times (3 times (-5) - 11 times 1) + 17 times (3 times (-5) - 2 times 1) pelos termos constantes:
det(Dz) = 1 times (-10 + 55) - 2 times (-15 - 11) + 17 times (-15 - 2)
Calculando o determinante de det(Dz) = 45 - 2 times (-26) + 17 times (-17) :
det(Dz) = 45 + 52 - 289 = -192
Passo 6
Agora, aplicando a Regra de Cramer, encontramos os valores de x = det(Dx)det(D) = -48-48 = 1 , y = det(Dy)det(D) = -96-48 = 2 e z = det(Dz)det(D) = -192-48 = 4 dividindo os determinantes correspondentes pelo determinante da matriz original :