Verifique se as funções são ou não transformações lineares:
dada por
.
Passo 1
Vamos analisar a questão: Precisamos verificar se a função
definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos utilizar os conceitos de transformações lineares e as propriedades que elas devem satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é dita linear se, para quaisquer vetores
em
e para qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição:
- Homogeneidade:
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a adição. Tomemos dois vetores quaisquer
e
em
:
Por outro lado:
Como
, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Seja
um escalar qualquer e
um vetor em
:
Aqui,
, o que confirma que a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Passo 5
Como ambas as propriedades das transformações lineares foram satisfeitas, podemos concluir que a função
é, de fato, uma transformação linear.
Resposta
A função
é uma transformação linear.