Verifique se as funções são ou não transformações lineares: dada por .

Passo 1

Vamos analisar a questão: Precisamos verificar se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos utilizar os conceitos de transformações lineares e as propriedades que elas devem satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função é dita linear se, para quaisquer vetores em e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a adição. Tomemos dois vetores quaisquer e em :
Por outro lado:
Como , a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Seja um escalar qualquer e um vetor em :
Aqui, , o que confirma que a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Passo 5

Como ambas as propriedades das transformações lineares foram satisfeitas, podemos concluir que a função é, de fato, uma transformação linear.

Resposta

A função é uma transformação linear.

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Resolva pela regra de Cramer os sistemas de equações abaixo:
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Verifique se as funções são ou não transformações lineares: dada por .
Verifique se o conjunto de vetores é linearmente independente ou dependente.