Verifique se as funções são ou não transformações lineares: dada por .
Passo 1
Vamos analisar a questão: Precisamos verificar se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos utilizar os conceitos de transformações lineares e as propriedades que elas devem satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função é dita linear se, para quaisquer vetores em e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
Adição:
Homogeneidade:
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a adição. Tomemos dois vetores quaisquer e em :
Por outro lado:
Como , a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Seja um escalar qualquer e um vetor em :
Aqui, , o que confirma que a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Passo 5
Como ambas as propriedades das transformações lineares foram satisfeitas, podemos concluir que a função é, de fato, uma transformação linear.