Mostre que a função
é uma solução da equação de onda unidimensional
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função
é uma solução da equação de onda unidimensional dada por:
Matéria envolvida: Equação de onda unidimensional e cálculo de derivadas parciais.
O que vamos precisar: Saber calcular derivadas parciais de segunda ordem de funções trigonométricas e identificar se a função
satisfaz a equação de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada segunda de
em relação ao tempo
. A função
tem dois termos:
Note que o segundo termo
é constante em relação a
e
, então suas derivadas serão zero.
Vamos focar no primeiro termo:
Calculando a primeira derivada em relação a
:
Calculando a segunda derivada em relação a
:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada segunda de
em relação a
.
Calculando a primeira derivada em relação a
:
Calculando a segunda derivada em relação a
:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos verificar se a função
satisfaz a equação de onda:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Simplificando ambos os lados:
Como os dois lados são iguais, a equação é satisfeita.
Resposta
Portanto, mostramos que a função
satisfaz a equação de onda unidimensional
, confirmando que
é, de fato, uma solução da equação de onda.