Mostre que a função w=5 cos (3 x+3 c t)+e^r+c d é uma solução da equação de onda unidimensional partial^2 wpartial t^2=c^2 partial^2 wpartial x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função partial^2 wpartial t^2 = c^2 partial^2 wpartial x^2 é uma solução da equação de onda unidimensional dada por:
Matéria envolvida: Equação de onda unidimensional e cálculo de derivadas parciais.
O que vamos precisar: Saber calcular derivadas parciais de segunda ordem de funções trigonométricas e identificar se a função satisfaz a equação de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada segunda de w1 = 5 cos (3x + 3ct) em relação ao tempo partial w1partial t = 5 cdot (-sin (3x + 3ct)) cdot partialpartial t(3x + 3ct) = -5 cdot 3c sin (3x + 3ct) = -15c sin (3x + 3ct) . A função partial^2 w1partial t^2 = -15c cdot cos (3x + 3ct) cdot partialpartial t(3x + 3ct) = -15c cdot 3c cos (3x + 3ct) = -45c^2 cos (3x + 3ct) tem dois termos:
  1. partial^2 wpartial t^2 = -45c^2 cos (3x + 3ct)
Note que o segundo termo é constante em relação a e , então suas derivadas serão zero.
Vamos focar no primeiro termo:
Calculando a primeira derivada em relação a :
Calculando a segunda derivada em relação a :
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada segunda de partial w1partial x = 5 cdot (-sin (3x + 3ct)) cdot partialpartial x(3x + 3ct) = -5 cdot 3 sin (3x + 3ct) = -15 sin (3x + 3ct) em relação a partial^2 w1partial x^2 = -15 cdot cos (3x + 3ct) cdot partialpartial x(3x + 3ct) = -15 cdot 3 cos (3x + 3ct) = -45 cos (3x + 3ct) .
Calculando a primeira derivada em relação a partial^2 wpartial x^2 = -45 cos (3x + 3ct) :
Calculando a segunda derivada em relação a :
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função partial^2 wpartial t^2 = c^2 partial^2 wpartial x^2 satisfaz a equação de onda:
-45c^2 cos (3x + 3ct) = c^2 cdot (-45 cos (3x + 3ct))
Substituindo as derivadas que encontramos:
-45c^2 cos (3x + 3ct) = -45c^2 cos (3x + 3ct)
Simplificando ambos os lados:
Como os dois lados são iguais, a equação é satisfeita.

Resposta

Portanto, mostramos que a função satisfaz a equação de onda unidimensional , confirmando que é, de fato, uma solução da equação de onda.

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