Mostre que as seguintes funçōes nāo possuem pontos críticos:
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver o exercício que pede para mostrar que a função
não tem pontos críticos. Esse assunto está dentro de Cálculo, mais especificamente no estudo de derivadas e pontos críticos. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela pode ser igual a zero ou não estar definida, já que esses são os lugares onde os pontos críticos podem existir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Em Cálculo, um ponto crítico de uma função acontece onde a derivada da função é zero ou não está definida. Ou seja, precisamos encontrar a derivada de
e ver onde ela atende a essas condições.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Para isso, usamos a regra da potência. Sabemos que
pode ser escrita como
. A derivada de
é
. Aplicando isso:
Passo 4
Agora que temos a derivada
, vamos analisar onde ela pode ser igual a zero ou não estar definida.
Primeiro, igualamos a derivada a zero:
Para que isso seja verdade, o numerador
precisaria ser zero, o que nunca acontece. Então, não há nenhum valor de
que torne a derivada igual a zero.
Em seguida, verificamos onde a derivada não está definida. A fração
não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando
. Porém, olhando para a função original
, já sabemos que
não está no domínio da função. Portanto, não consideramos
como um ponto crítico.
Resposta
Como a derivada
nunca é igual a zero e não há valores de
onde a derivada não está definida dentro do domínio de
, concluímos que a função
não possui pontos críticos.