Mostre que as seguintes funçōes nāo possuem pontos críticos: .

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver o exercício que pede para mostrar que a função não tem pontos críticos. Esse assunto está dentro de Cálculo, mais especificamente no estudo de derivadas e pontos críticos. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela pode ser igual a zero ou não estar definida, já que esses são os lugares onde os pontos críticos podem existir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Em Cálculo, um ponto crítico de uma função acontece onde a derivada da função é zero ou não está definida. Ou seja, precisamos encontrar a derivada de e ver onde ela atende a essas condições.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Para isso, usamos a regra da potência. Sabemos que pode ser escrita como . A derivada de é . Aplicando isso:

Passo 4

Agora que temos a derivada , vamos analisar onde ela pode ser igual a zero ou não estar definida. Primeiro, igualamos a derivada a zero: Para que isso seja verdade, o numerador precisaria ser zero, o que nunca acontece. Então, não há nenhum valor de que torne a derivada igual a zero. Em seguida, verificamos onde a derivada não está definida. A fração não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando . Porém, olhando para a função original , já sabemos que não está no domínio da função. Portanto, não consideramos como um ponto crítico.

Resposta

Como a derivada nunca é igual a zero e não há valores de onde a derivada não está definida dentro do domínio de , concluímos que a função **não possui pontos críticos**.

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Mostre que as funçōes abaixo satisfazem as hipóteses do Teorema de Rolle, no intervalo indicado e determine todos os números , tais que . ;