Mostre que as funçōes abaixo satisfazem as hipóteses do Teorema de Rolle, no intervalo indicado e determine todos os números
, tais que
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
definida no intervalo
. Nosso objetivo é mostrar que essa função atende às condições do Teorema de Rolle nesse intervalo. Depois, vamos encontrar todos os números
dentro de
onde a derivada da função,
, é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, o que é o Teorema de Rolle? Ele diz que se uma função
é contínua no intervalo fechado
, diferenciável no intervalo aberto
, e se
, então existe pelo menos um número
em
onde a derivada
.
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa função
no intervalo
:
-
Continuidade: Polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, então
é contínua em . -
Diferenciabilidade: Polinômios também são diferenciáveis em todo o seu domínio, então
é diferenciável em . -
Valores iguais nas extremidades: Vamos calcular
e : Como, todas as condições do Teorema de Rolle são satisfeitas.
Passo 4
Agora que confirmamos que o Teorema de Rolle se aplica, vamos encontrar os pontos
onde
. Primeiro, precisamos calcular a derivada da função:
Passo 5
Vamos resolver a equação
:
Isso nos dá duas soluções:
-
-
, o que não tem solução real.
Passo 6
Portanto, a única solução real dentro do intervalo
é
.
Resposta
A função
satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo
. O número
dentro de
onde
é
.
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Multiplique
Determine os pontos críticos das seguintes funçöes:
;
Multiplique
Dê o quociente e o resto de