Mostre que as funçōes abaixo satisfazem as hipóteses do Teorema de Rolle, no intervalo indicado e determine todos os números , tais que .
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função definida no intervalo . Nosso objetivo é mostrar que essa função atende às condições do Teorema de Rolle nesse intervalo. Depois, vamos encontrar todos os números dentro de onde a derivada da função, , é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, o que é o Teorema de Rolle? Ele diz que se uma função é contínua no intervalo fechado , diferenciável no intervalo aberto , e se , então existe pelo menos um número em onde a derivada .

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa função no intervalo :
  1. Continuidade: Polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, então é contínua em .
  2. Diferenciabilidade: Polinômios também são diferenciáveis em todo o seu domínio, então é diferenciável em .
  3. Valores iguais nas extremidades: Vamos calcular e :
    Como , todas as condições do Teorema de Rolle são satisfeitas.

Passo 4

Agora que confirmamos que o Teorema de Rolle se aplica, vamos encontrar os pontos onde . Primeiro, precisamos calcular a derivada da função:

Passo 5

Vamos resolver a equação :
Isso nos dá duas soluções:
  1. , o que não tem solução real.

Passo 6

Portanto, a única solução real dentro do intervalo é .

Resposta

A função satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo . O número dentro de onde é .

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Multiplique
Determine os pontos críticos das seguintes funçöes:
;
Multiplique
Dê o quociente e o resto de