Mostre que as funções são soluções da equação de onda eletromagnética

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que as funções , , e são soluções da equação de onda eletromagnética dada por:
Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas parciais, para verificar se cada função satisfaz essa equação.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função: .
Primeiro, precisamos achar a segunda derivada dessa função em relação a e em relação a .
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Agora, substituímos essas derivadas na equação de onda:
Para que isso seja verdade para todo e , o coeficiente deve ser zero:
Portanto, é solução da equação de onda quando .

Passo 3

Vamos agora verificar a segunda função: .
O processo é bem parecido com o anterior.
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Substituindo na equação de onda:
Novamente, para que isso seja válido para todo e , temos:
Portanto, também é solução da equação de onda quando .

Passo 4

Agora, vamos verificar .
Vamos considerar a função (o caso com segue de forma semelhante).
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Substituindo na equação de onda:
Para que isso seja verdadeiro para todo e :
Então, é solução da equação de onda quando . O mesmo vale para .

Passo 5

Finalmente, vamos verificar .
Consideremos .
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Substituindo na equação de onda:
Aqui, para que a equação seja satisfeita, precisamos que:
Contudo, como e são sempre positivos, essa igualdade só é possível se , o que torna a expressão válida.
Portanto, também é uma solução da equação de onda quando . O mesmo se aplica para .

Resposta

Todas as funções , , e são soluções da equação de onda eletromagnética, desde que .

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