Mostre que as funções
são soluções da equação de onda eletromagnética
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que as funções
,
,
e
são soluções da equação de onda eletromagnética dada por:
Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas parciais, para verificar se cada função satisfaz essa equação.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
.
Primeiro, precisamos achar a segunda derivada dessa função em relação a
e em relação a
.
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Agora, substituímos essas derivadas na equação de onda:
Para que isso seja verdade para todo
e
, o coeficiente deve ser zero:
Portanto,
é solução da equação de onda quando
.
Passo 3
Vamos agora verificar a segunda função:
.
O processo é bem parecido com o anterior.
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Substituindo na equação de onda:
Novamente, para que isso seja válido para todo
e
, temos:
Portanto,
também é solução da equação de onda quando
.
Passo 4
Agora, vamos verificar
.
Vamos considerar a função
(o caso com
segue de forma semelhante).
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Substituindo na equação de onda:
Para que isso seja verdadeiro para todo
e
:
Então,
é solução da equação de onda quando
. O mesmo vale para
.
Passo 5
Finalmente, vamos verificar
.
Consideremos
.
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Substituindo na equação de onda:
Aqui, para que a equação seja satisfeita, precisamos que:
Contudo, como
e
são sempre positivos, essa igualdade só é possível se
, o que torna a expressão válida.
Portanto,
também é uma solução da equação de onda quando
. O mesmo se aplica para
.
Resposta
Todas as funções
,
,
e
são soluções da equação de onda eletromagnética, desde que
.
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e
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Responda obedecendo as regras de operações com algarismos significativos:
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Obs: Para garantir que a correção automática funcione não use notação científica!
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