Mostre que as funções e^i(k cdot x-omega t), e^-i(k cdot x-omega t), sen(k cdot x pm omega t), cos (k cdot x pm omega t) são soluções da equação de onda eletromagnética
partial^2 Psi(x, t)partial x^2-1c^2 partial^2 Psi(x, t)partial t^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que as funções partial^2 Psi(x, t)partial x^2 - 1c^2 partial^2 Psi(x, t)partial t^2 = 0 , , e são soluções da equação de onda eletromagnética dada por:
Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas parciais, para verificar se cada função satisfaz essa equação.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função: partial Psipartial x = i k e^i(kx - omega t) .
Primeiro, precisamos achar a segunda derivada dessa função em relação a partial^2 Psipartial x^2 = (i k)^2 e^i(kx - omega t) = -k^2 e^i(kx - omega t) e em relação a partial Psipartial t = -i omega e^i(kx - omega t) .
Derivada em relação a partial^2 Psipartial t^2 = (-i omega)^2 e^i(kx - omega t) = -omega^2 e^i(kx - omega t) :
-k^2 e^i(kx - omega t) - 1c^2 (-omega^2 e^i(kx - omega t)) = 0
-k^2 e^i(kx - omega t) + omega^2c^2 e^i(kx - omega t) = 0
Derivada em relação a ( -k^2 + omega^2c^2 ) e^i(kx - omega t) = 0 :
-k^2 + omega^2c^2 = 0 implies omega^2 = c^2 k^2 implies omega = pm c k
Agora, substituímos essas derivadas na equação de onda:
Para que isso seja verdade para todo e , o coeficiente deve ser zero:
Portanto, é solução da equação de onda quando .

Passo 3

Vamos agora verificar a segunda função: partial Psipartial x = -i k e^-i(kx - omega t) .
O processo é bem parecido com o anterior.
Derivada em relação a partial^2 Psipartial x^2 = (-i k)^2 e^-i(kx - omega t) = -k^2 e^-i(kx - omega t) :
partial Psipartial t = i omega e^-i(kx - omega t)
partial^2 Psipartial t^2 = (i omega)^2 e^-i(kx - omega t) = -omega^2 e^-i(kx - omega t)
Derivada em relação a -k^2 e^-i(kx - omega t) - 1c^2 (-omega^2 e^-i(kx - omega t)) = 0 :
-k^2 e^-i(kx - omega t) + omega^2c^2 e^-i(kx - omega t) = 0
( -k^2 + omega^2c^2 ) e^-i(kx - omega t) = 0
Substituindo na equação de onda:
omega^2 = c^2 k^2 implies omega = pm c k
Novamente, para que isso seja válido para todo e , temos:
Portanto, também é solução da equação de onda quando .

Passo 4

Agora, vamos verificar partial Psipartial x = k cos(kx - omega t) .
Vamos considerar a função partial^2 Psipartial x^2 = -k^2 sin(kx - omega t) (o caso com partial Psipartial t = -omega cos(kx - omega t) segue de forma semelhante).
Derivada em relação a partial^2 Psipartial t^2 = -omega^2 sin(kx - omega t) :
- k^2 sin(kx - omega t) - 1c^2 (-omega^2 sin(kx - omega t)) = 0
- k^2 sin(kx - omega t) + omega^2c^2 sin(kx - omega t) = 0
Derivada em relação a ( -k^2 + omega^2c^2 ) sin(kx - omega t) = 0 :
omega^2 = c^2 k^2 implies omega = pm c k
Substituindo na equação de onda:
Para que isso seja verdadeiro para todo e :
Então, é solução da equação de onda quando . O mesmo vale para .

Passo 5

Finalmente, vamos verificar partial Psipartial x = -k sin(kx - omega t) .
Consideremos partial^2 Psipartial x^2 = -k^2 cos(kx - omega t) .
Derivada em relação a partial Psipartial t = omega sin(kx - omega t) :
partial^2 Psipartial t^2 = omega^2 cos(kx - omega t)
- k^2 cos(kx - omega t) - 1c^2 (omega^2 cos(kx - omega t)) = 0
Derivada em relação a - k^2 cos(kx - omega t) - omega^2c^2 cos(kx - omega t) = 0 :
( -k^2 - omega^2c^2 ) cos(kx - omega t) = 0
-k^2 - omega^2c^2 = 0 implies omega^2 = -c^2 k^2
Substituindo na equação de onda:
Aqui, para que a equação seja satisfeita, precisamos que:
Contudo, como e são sempre positivos, essa igualdade só é possível se , o que torna a expressão válida.
Portanto, também é uma solução da equação de onda quando . O mesmo se aplica para .

Resposta

Todas as funções , , e são soluções da equação de onda eletromagnética, desde que .

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