Mostre que as funçōes
e
verificam as equaçöes de Cauchy-Riemann
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que as funções
e
satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, que são
e
. Essas equações são fundamentais em análise complexa e ajudam a determinar se uma função é diferenciável no sentido complexo. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Isso significa que vamos derivar
considerando
constante.
Passo 3
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Agora, comparamos
e
. Se
, então essa parte das equações de Cauchy-Riemann está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda equação. Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação a
, que é
:
Passo 5
Depois, calculamos a derivada parcial de
em relação a
, que é
:
Segundo as equações de Cauchy-Riemann, precisamos que
. Então, comparamos os valores obtidos para
e
.
Resposta
Depois de calcular e comparar as derivadas parciais, verificamos que
e
. Portanto, as funções
e
satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.