Mostre que as funçōes u e v verificam as equaçöes de Cauchy-Riemann ux = vy e u_y = -v_x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que as funções e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, que são e . Essas equações são fundamentais em análise complexa e ajudam a determinar se uma função é diferenciável no sentido complexo. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de e em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Isso significa que vamos derivar considerando constante.

Passo 3

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é .
Agora, comparamos e . Se , então essa parte das equações de Cauchy-Riemann está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda equação. Primeiro, calculamos a derivada parcial de em relação a , que é :

Passo 5

Depois, calculamos a derivada parcial de em relação a , que é :
Segundo as equações de Cauchy-Riemann, precisamos que . Então, comparamos os valores obtidos para e .

Resposta

Depois de calcular e comparar as derivadas parciais, verificamos que e . Portanto, as funções e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.

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