Mostre que as funçōes e verificam as equaçöes de Cauchy-Riemann e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que as funções e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, que são e . Essas equações são fundamentais em análise complexa e ajudam a determinar se uma função é diferenciável no sentido complexo. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de e em relação a e .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Isso significa que vamos derivar considerando constante.
Passo 3
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é .
Agora, comparamos e . Se , então essa parte das equações de Cauchy-Riemann está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda equação. Primeiro, calculamos a derivada parcial de em relação a , que é :
Passo 5
Depois, calculamos a derivada parcial de em relação a , que é :
Segundo as equações de Cauchy-Riemann, precisamos que . Então, comparamos os valores obtidos para e .
Resposta
Depois de calcular e comparar as derivadas parciais, verificamos que e . Portanto, as funções e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.