Seja f(x)=cl2^-x-2, & se x<-1 2 & se x=-1 x^2-x-2, & se -13.
b) Determine lim x -1 f(x), lim x 3 f(x), lim x infty f(x) e lim x -infty f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limites para a função definida por partes. O que a gente precisa fazer é calcular os limites de quando se aproxima de -1, de 3, quando vai para mais infinito e quando vai para menos infinito. Vamos precisar saber como lidar com funções por partes e entender como calcular limites em pontos onde a função muda de definição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando se aproxima de -1. Como a função é definida por partes, vamos ver qual é o comportamento de para chegando de valores menores que -1 e de valores maiores que -1.

Passo 3

Para limx to -1^- f(x) = 2^-(-1) - 2 = 2^1 - 2 = 2 - 2 = 0 se aproximando de -1 pela esquerda ( ):
A função é . Então, substituímos por -1:

Passo 4

Para limx to -1^+ f(x) = (-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 se aproximando de -1 pela direita ( ):
A função é . Substituímos por -1:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e a função está bem definida em , o limite geral é 0.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 3. Novamente, observamos as partes da função perto de 3.

Passo 6

Para limx to 3^- f(x) = 3^2 - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 se aproximando de 3 pela esquerda ( ):
A função é . Substituímos por 3:

Passo 7

Para limx to 3^+ f(x) = 5 - 3 = 2 se aproximando de 3 pela direita ( ):
A função é . Substituímos por 3:
Os limites pela esquerda e pela direita são diferentes, então o limite geral não existe.

Passo 8

Vamos calcular o limite quando vai para mais infinito ( ). Observamos a parte da função definida para , que é .

Passo 9

limx to infty f(x) = limx to infty (5 - x) = -infty
À medida que aumenta, tende a menos infinito.

Passo 10

Por último, calculamos o limite quando vai para menos infinito ( ). Vemos a parte da função para , que é .

Passo 11

limx to -infty f(x) = limx to -infty (2^-x - 2)
Note que limx to -infty f(x) = infty - 2 = infty . Quando , , então .
Portanto:

Resposta

limx to -1 f(x) = 0
limx to 3 f(x) não existe ã
limx to infty f(x) = -infty
limx to -infty f(x) = infty

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