Seja .
b) Determine lim x -1 f(x), lim x 3 f(x), lim x infty f(x) e lim x -infty f(x).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limites para a função definida por partes. O que a gente precisa fazer é calcular os limites de quando se aproxima de -1, de 3, quando vai para mais infinito e quando vai para menos infinito. Vamos precisar saber como lidar com funções por partes e entender como calcular limites em pontos onde a função muda de definição.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite quando se aproxima de -1. Como a função é definida por partes, vamos ver qual é o comportamento de para chegando de valores menores que -1 e de valores maiores que -1.
Passo 3
Para limx to -1^- f(x) = 2^-(-1) - 2 = 2^1 - 2 = 2 - 2 = 0 se aproximando de -1 pela esquerda ():
A função é . Então, substituímos por -1:
Passo 4
Para limx to -1^+ f(x) = (-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 se aproximando de -1 pela direita ():
A função é . Substituímos por -1:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e a função está bem definida em , o limite geral é 0.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 3. Novamente, observamos as partes da função perto de 3.
Passo 6
Para limx to 3^- f(x) = 3^2 - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 se aproximando de 3 pela esquerda ():
A função é . Substituímos por 3:
Passo 7
Para limx to 3^+ f(x) = 5 - 3 = 2 se aproximando de 3 pela direita ():
A função é . Substituímos por 3:
Os limites pela esquerda e pela direita são diferentes, então o limite geral não existe.
Passo 8
Vamos calcular o limite quando vai para mais infinito (). Observamos a parte da função definida para , que é .
Passo 9
limx to infty f(x) = limx to infty (5 - x) = -infty
À medida que aumenta, tende a menos infinito.
Passo 10
Por último, calculamos o limite quando vai para menos infinito (). Vemos a parte da função para , que é .
Passo 11
limx to -infty f(x) = limx to -infty (2^-x - 2)
Note que limx to -infty f(x) = infty - 2 = infty . Quando , , então .
Portanto: