Resolva as equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Vamos usar conceitos de equações diferenciais separáveis, que nos permitem separar as variáveis e para facilitar a resolução. Precisamos reorganizar a equação de forma que todas as expressões com fiquem de um lado e todas com do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para isolar :
Isso nos deixa com uma forma mais fácil de manipular.

Passo 3

Agora, reescrevemos a equação de maneira a separar as variáveis e . Podemos fazer isso multiplicando ambos os lados por :
Dessa forma, temos todos os termos com de um lado e com do outro.

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Integraremos o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :

Passo 5

Vamos resolver as integrais:
  • A integral de é .
  • A integral de é .
Então, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar , vamos isolar essa variável. Multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos simplificar a constante apenas para (já que é uma constante arbitrária):
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Represente geometricamente a região cuja área, em coordenadas polares, é dada por
Mostre que as funções e , em que e são constantes arbitrárias, são soluções para a equação diferencial . Em seguida, verifique se a soma das duas soluções também é solução da equação diferencial.
Resolva as equações diferenciais: