Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais separáveis, que nos permitem separar as variáveis
e
para facilitar a resolução. Precisamos reorganizar a equação de forma que todas as expressões com
fiquem de um lado e todas com
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para isolar
:
Isso nos deixa com uma forma mais fácil de manipular.
Passo 3
Agora, reescrevemos a equação de maneira a separar as variáveis
e
. Podemos fazer isso multiplicando ambos os lados por
:
Dessa forma, temos todos os termos com
de um lado e com
do outro.
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Integraremos o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Passo 5
Vamos resolver as integrais:
- A integral de
é . - A integral de
é .
Então, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar
, vamos isolar essa variável. Multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos simplificar a constante
apenas para
(já que
é uma constante arbitrária):
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Represente geometricamente a região cuja área, em coordenadas polares, é dada por
Mostre que as funções
e
, em que
e
são constantes arbitrárias, são soluções para a equação diferencial
. Em seguida, verifique se a soma das duas soluções também é solução da equação diferencial.
Resolva as equações diferenciais: