Mostre que as geodésicas de uma superfície esférica são grandes círculos, isto é, círculos com centro no centro da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que as geodésicas de uma superfície esférica são grandes círculos, ou seja, círculos cujo centro é o mesmo da esfera. Para isso, vamos precisar entender o que são geodésicas e grandes círculos. Vamos usar conceitos de geometria diferencial para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é uma geodésica. Em termos simples, uma geodésica é a curva mais curta entre dois pontos em uma superfície. É como uma “reta” na superfície. Em uma esfera, queremos ver quais curvas cumprem essa propriedade.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que são grandes círculos. Um grande círculo em uma esfera é um círculo cujo plano de definição passa pelo centro da esfera. Exemplos de grandes círculos na Terra são o Equador e os meridianos.
Passo 4
Para mostrar que as geodésicas são grandes círculos, vamos usar a propriedade de que em uma esfera, as geodésicas devem ter o menor comprimento possível entre dois pontos. Sabemos que grandes círculos têm essa propriedade porque são as menores rotações ao redor da esfera.
Passo 5
Vamos parametrizar a esfera usando coordenadas esféricas. Considere uma esfera de raio
com centro na origem. As coordenadas de um ponto na esfera são dadas por:
onde
é a colatitude e
é a longitude.
Passo 6
As equações das geodésicas em uma esfera podem ser obtidas resolvendo as equações de movimento geodésico, que no caso da esfera resultam nas equações dos grandes círculos. Isso ocorre porque as grandes círculos minimizam a distância entre pontos na superfície.
Passo 7
Outro jeito de ver isso é considerar que qualquer grande círculo pode ser obtido pela intersecção de um plano que passa pelo centro da esfera com a superfície esférica. Esse plano define a menor rota entre dois pontos da esfera, que é justamente a geodésica.
Resposta
Portanto, mostramos que as geodésicas de uma superfície esférica são exatamente os grandes círculos, ou seja, círculos com centro no centro da esfera.
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É possível determinar exclusivamente a entrada a partir da saída.
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. Obtenha:
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;
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