Obter a condição de extremo para
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um integral da forma
e queremos encontrar as condições para que esse integral tenha um extremo (ou seja, seja mínimo ou máximo). Isso faz parte da matéria de Cálculo de Variações. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar condições de extremização quando a função envolvida depende não só de
e
, mas também de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que, quando queremos encontrar um extremo de um integral como esse, usamos o que chamamos de Equação de Euler-Lagrange. Essa equação nos dá as condições que a função
deve satisfazer para que o integral
seja um extremo.
Passo 3
Mas atenção: a Equação de Euler-Lagrange básica é para funções que dependem de
e
. No nosso caso, a função
também depende de
, que é a segunda derivada de
em relação a
. Então, precisamos adaptar a equação para levar isso em conta.
Passo 4
Para lidar com a dependência de
, aplicamos a versão estendida da Equação de Euler-Lagrange. Ela diz que a condição de extremo é dada por:
Aqui está o que cada termo representa:
-
: a derivada parcial de em relação a . -
: a derivada total em relação a da derivada parcial de em relação a . -
: a segunda derivada total em relação a da derivada parcial de em relação a .
Passo 5
Então, para encontrar a condição de extremo para o nosso integral, basta calcular esses termos com base na função
dada e igualar a soma deles a zero.
Resposta
A condição de extremo para
é
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