Prove a condição de ortogonalidade . Como um caso especial disso, os co-senos diretores da Seção 1.1 satisfazem a relação

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede pra gente provar a condição de ortogonalidade dada por . Além disso, como um caso especial disso, temos que os cosenos diretores satisfazem . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre vetores ortogonais e matrizes ortogonais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa ortogonalidade e como os cosenos diretores se relacionam com isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a condição de ortogonalidade. Em álgebra linear, duas colunas de uma matriz são ditas ortogonais se o produto interno delas for zero. A condição expressa isso: se , o somatório é zero (ortogonais), e se , o somatório é um (norma igual a um).

Passo 3

Agora, vamos considerar uma matriz ortogonal , onde suas colunas são vetores ortonormais. Isso significa que cada coluna tem norma 1 e são mutuamente ortogonais. A condição de ortogonalidade da matriz pode ser escrita como , onde é a transposta de e é a matriz identidade. Expandindo o produto, temos que , que é exatamente o que precisamos provar.

Passo 4

Para o caso especial dos cosenos diretores, consideramos um vetor unitário no espaço tridimensional. Os cosenos diretores , e são as projeções desse vetor nos eixos , e , respectivamente. Como o vetor é unitário, a soma dos quadrados dessas projeções deve ser igual a 1, ou seja, .

Resposta

Assim, mostramos que a condição de ortogonalidade é válida para matrizes ortogonais e que, como caso especial, os cosenos diretores satisfazem .

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