Prove a condição de ortogonalidade
. Como um caso especial disso, os co-senos diretores da Seção 1.1 satisfazem a relação
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede pra gente provar a condição de ortogonalidade dada por
. Além disso, como um caso especial disso, temos que os cosenos diretores satisfazem
. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre vetores ortogonais e matrizes ortogonais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa ortogonalidade e como os cosenos diretores se relacionam com isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a condição de ortogonalidade. Em álgebra linear, duas colunas de uma matriz são ditas ortogonais se o produto interno delas for zero. A condição
expressa isso: se
, o somatório é zero (ortogonais), e se
, o somatório é um (norma igual a um).
Passo 3
Agora, vamos considerar uma matriz ortogonal
, onde suas colunas são vetores ortonormais. Isso significa que cada coluna tem norma 1 e são mutuamente ortogonais. A condição de ortogonalidade da matriz pode ser escrita como
, onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade. Expandindo o produto, temos que
, que é exatamente o que precisamos provar.
Passo 4
Para o caso especial dos cosenos diretores, consideramos um vetor unitário no espaço tridimensional. Os cosenos diretores
,
e
são as projeções desse vetor nos eixos
,
e
, respectivamente. Como o vetor é unitário, a soma dos quadrados dessas projeções deve ser igual a 1, ou seja,
.
Resposta
Assim, mostramos que a condição de ortogonalidade
é válida para matrizes ortogonais e que, como caso especial, os cosenos diretores satisfazem
.