Mostre que há um único polinômio de grau ou menor tal que , em que são números distintos e são quaisquer.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos pontos distintos , onde todos os são diferentes. A pergunta quer que mostremos que existe um único polinômio de grau máximo que passa por todos esses pontos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre polinômios e propriedades de suas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau tem a forma geral:
Aqui, os coeficientes são os números que determinam o polinômio. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes de forma que o polinômio passe por todos os pontos .
Passo 3
Para que o polinômio passe por o ponto , ele precisa satisfazer a equação . Substituindo na expressão do polinômio, temos:
Isso nos dá um sistema de equações lineares com incógnitas ().
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que esse sistema tem uma única solução. Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz:
$$
$$
Essa matriz é conhecida como matriz de Vandermonde.
Passo 5
A chave aqui é saber que uma matriz de Vandermonde tem determinante diferente de zero se e somente se todos os xi forem distintos. O determinante da matriz de Vandermonde é dado por:
det(V) = prod0 <= i < j <= n (xj - xi)
Como todos os xi são distintos, cada termo (xj - xi) é diferente de zero, o que faz com que det(V) neq 0.
Passo 6
Quando o determinante de uma matriz é diferente de zero, isso significa que o sistema de equações tem uma única solução. Portanto, existe um único polinômiop(x) de grau no máximo n que satisfaz todas as equações p(xi) = yi para i = 0, 1, ldots, n.
Resposta
Existe um único polinômio p de grau no máximo n que satisfaz p(xi) = yi para todos os i = 0, ldots, n, quando os xi são distintos.