Mostre que há um único polinômio p de grau n ou menor tal que p(xi)=yi, i=0, ldots, n, em que x0, ldots, xn são n+1 números distintos e y0, y1, ldots, yn são quaisquer.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos n+1 pontos distintos (x0, y0), (x1, y1), ldots, (xn, yn), onde todos os xi são diferentes. A pergunta quer que mostremos que existe um único polinômio p de grau máximo n que passa por todos esses pontos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre polinômios e propriedades de suas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau n tem a forma geral:
p(x) = an x^n + an-1 x^n-1 + ldots + a1 x + a0
Aqui, os coeficientes a0, a1, ldots, an são os números que determinam o polinômio. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes de forma que o polinômio passe por todos os pontos (xi, yi).

Passo 3

Para que o polinômio passe por o ponto (xi, yi), ele precisa satisfazer a equação p(xi) = yi. Substituindo xi na expressão do polinômio, temos:
an xi^n + an-1 xi^n-1 + ldots + a1 xi + a0 = yi para i = 0, 1, ldots, n
Isso nos dá um sistema de n+1 equações lineares com n+1 incógnitas ( a0, a1, ldots, an).

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que esse sistema tem uma única solução. Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz:

$$
1 & x0 & x0^2 & ldots & x0^n 1 & x1 & x1^2 & ldots & x1^n vdots & vdots & vdots & & vdots 1 & xn & xn^2 & ldots & xn^n a0 a1 vdots an = y0 y1 vdots yn

$$
Essa matriz é conhecida como matriz de Vandermonde.

Passo 5

A chave aqui é saber que uma matriz de Vandermonde tem determinante diferente de zero se e somente se todos os xi forem distintos. O determinante da matriz de Vandermonde é dado por:
det(V) = prod0 <= i < j <= n (xj - xi)
Como todos os xi são distintos, cada termo (xj - xi) é diferente de zero, o que faz com que det(V) neq 0.

Passo 6

Quando o determinante de uma matriz é diferente de zero, isso significa que o sistema de equações tem uma única solução. Portanto, existe um único polinômio p(x) de grau no máximo n que satisfaz todas as equações p(xi) = yi para i = 0, 1, ldots, n.

Resposta

Existe um único polinômio p de grau no máximo n que satisfaz p(xi) = yi para todos os i = 0, ldots, n, quando os xi são distintos.

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