Se x0, x1, ldots, xn são n+1 pontos distintos, mostre que os m+1 vetores
u0=(c 1 1 vdots 1 ), u1=(c x0 x1 vdots xn ), ldots, um=(c x0^m x1^m vdots xn^m )
com m <= n, são linearmente independentes.

Passo 1

Beleza, então você quer provar que os vetores são linearmente independentes, onde cada vetor é definido com potências distintas de pontos diferentes . Isso está no campo da álgebra linear, especificamente tratando de independência linear e matrizes de Vandermonde. Vamos usar conceitos básicos de combinação linear e determinantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que vetores são linearmente independentes. Vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles (exceto a combinação trivial, onde todos os coeficientes são zero) resulta no vetor nulo. Em outras palavras, se:
a0u0 + a1u1 + ldots + amum = 0
implica que .

Passo 3

Agora, vamos escrever os vetores uk = x0^k x1^k vdots xn^k de forma mais clara. Cada vetor V = 1 & x0 & x0^2 & ldots & x0^m 1 & x1 & x1^2 & ldots & x1^m vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 1 & xn & xn^2 & ldots & xn^m é uma coluna com elementos para :
Portanto, se formos colocar esses vetores como colunas em uma matriz, teremos uma matriz de Vandermonde:

Passo 4

Para mostrar que os vetores são linearmente independentes, precisamos mostrar que a única solução para a equação é . Aqui, é o vetor de coeficientes .
Isso ocorrerá se o determinante da matriz for diferente de zero, ou seja, .

Passo 5

A matriz de Vandermonde tem um determinante bem conhecido:
det(V) = prod0 <= i < j <= m (xj - xi)
Esse produto multiplica as diferenças entre todos os pares distintos de e .

Passo 6

Como dado no enunciado, todos os pontos são distintos. Isso significa que para todo . Portanto, cada fator no produto do determinante é diferente de zero, o que implica que .

Passo 7

Com , concluímos que a matriz é não singular, ou seja, tem inversa. Isso significa que a única solução para é .

Passo 8

Portanto, os vetores são linearmente independentes, já que a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela onde todos os coeficientes são zero.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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