Se x0, x1, ldots, xn são n+1 números distintos e y0, y1, ldots, yn são n+1 valores de uma função, yi=f(xi), i=0, ldots, n, mostre que as equações normais podem ser escritas na forma
(X^T X) a=X^T y
em que
a=(c a0 a1 vdots am ), y=(c y0 y1 vdots yn ), X=(ccccc 1 & x0 & x0^2 & cdots & x0^m 1 & x1 & x1^2 & cdots & x1^m cdots & cdots & cdots & cdots & cdots 1 & xn & xn^2 & cdots & xn^m ), m

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que as equações normais podem ser escritas na forma . Isso está ligado ao tema de ajuste de curvas usando mínimos quadrados. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir as equações normais a partir de um sistema de equações lineares e depois expressá-las em forma matricial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que estamos tentando ajustar uma função polinomial f(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + cdots + am x^m de grau aos pontos dados , onde . A função polinomial pode ser escrita como:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes que melhor se ajustam aos dados, minimizando a soma dos erros quadrados entre os valores observados e os valores preditos pela função .

Passo 3

Para minimizar a soma dos erros quadrados, definimos a função custo S = sumi=0^n (yi - f(xi))^2 :
S = sumi=0^n (yi - (a0 + a1 xi + a2 xi^2 + cdots + am xi^m))^2
Substituindo partial Spartial aj = 0 para j = 0, 1, ldots, m pela expressão do polinômio, temos:
Para encontrar os mínimos, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a cada coeficiente e igualá-las a zero:

Passo 4

Fazendo isso para cada sumi=0^n yi = a0(n+1) + a1 sumi=0^n xi + a2 sumi=0^n xi^2 + cdots + am sumi=0^n xi^m sumi=0^n yi xi = a0 sumi=0^n xi + a1 sumi=0^n xi^2 + a2 sumi=0^n xi^3 + cdots + am sumi=0^n xi^m+1 vdots sumi=0^n yi xi^m = a0 sumi=0^n xi^m + a1 sumi=0^n xi^m+1 + cdots + am sumi=0^n xi^2m , obtemos um sistema de equações lineares conhecido como equações normais:

Passo 5

Agora, vamos organizar essas equações de forma matricial. Para isso, definimos:
a = a0 a1 vdots am , y = y0 y1 vdots yn , X = 1 & x0 & x0^2 & cdots & x0^m 1 & x1 & x1^2 & cdots & x1^m vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 1 & xn & xn^2 & cdots & xn^m
Aqui, é a matriz de design que contém os termos de , é o vetor dos coeficientes que queremos encontrar, e é o vetor dos valores observados.

Passo 6

Multiplicando a transposta de (X^T X) a = X^T y ( ) pela própria e pela , a gente consegue escrever as equações normais de forma compacta:
Isso representa o sistema linear que precisamos resolver para encontrar os coeficientes .

Resposta

As equações normais podem ser escritas na forma matricial a = a0 a1 vdots am , y = y0 y1 vdots yn , X = 1 & x0 & x0^2 & cdots & x0^m 1 & x1 & x1^2 & cdots & x1^m vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 1 & xn & xn^2 & cdots & xn^m , onde:

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