Se são números distintos e são valores de uma função, , mostre que as equações normais podem ser escritas na forma
em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que as equações normais podem ser escritas na forma . Isso está ligado ao tema de ajuste de curvas usando mínimos quadrados. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir as equações normais a partir de um sistema de equações lineares e depois expressá-las em forma matricial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que estamos tentando ajustar uma função polinomial f(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + cdots + am x^m de grau aos pontos dados , onde . A função polinomial pode ser escrita como:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes que melhor se ajustam aos dados, minimizando a soma dos erros quadrados entre os valores observados e os valores preditos pela função .
Passo 3
Para minimizar a soma dos erros quadrados, definimos a função custo S = sumi=0^n (yi - f(xi))^2 :
S = sumi=0^n (yi - (a0 + a1 xi + a2 xi^2 + cdots + am xi^m))^2
Substituindo partial Spartial aj = 0 para j = 0, 1, ldots, m pela expressão do polinômio, temos:
Para encontrar os mínimos, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a cada coeficiente e igualá-las a zero:
Passo 4
Fazendo isso para cada sumi=0^n yi = a0(n+1) + a1 sumi=0^n xi + a2 sumi=0^n xi^2 + cdots + am sumi=0^n xi^m sumi=0^n yi xi = a0 sumi=0^n xi + a1 sumi=0^n xi^2 + a2 sumi=0^n xi^3 + cdots + am sumi=0^n xi^m+1 vdots sumi=0^n yi xi^m = a0 sumi=0^n xi^m + a1 sumi=0^n xi^m+1 + cdots + am sumi=0^n xi^2m , obtemos um sistema de equações lineares conhecido como equações normais:
Passo 5
Agora, vamos organizar essas equações de forma matricial. Para isso, definimos: