Se são números distintos e são valores de uma função, , mostre que as equações normais podem ser escritas na forma
em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que as equações normais podem ser escritas na forma . Isso está ligado ao tema de ajuste de curvas usando mínimos quadrados. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir as equações normais a partir de um sistema de equações lineares e depois expressá-las em forma matricial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que estamos tentando ajustar uma função polinomial de grau aos pontos dados , onde . A função polinomial pode ser escrita como:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes que melhor se ajustam aos dados, minimizando a soma dos erros quadrados entre os valores observados e os valores preditos pela função .
Passo 3
Para minimizar a soma dos erros quadrados, definimos a função custo :
Substituindo pela expressão do polinômio, temos:
Para encontrar os mínimos, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a cada coeficiente e igualá-las a zero:
Passo 4
Fazendo isso para cada , obtemos um sistema de equações lineares conhecido como equações normais:
Passo 5
Agora, vamos organizar essas equações de forma matricial. Para isso, definimos:
Aqui, é a matriz de design que contém os termos de , é o vetor dos coeficientes que queremos encontrar, e é o vetor dos valores observados.
Passo 6
Multiplicando a transposta de () pela própria e pela , a gente consegue escrever as equações normais de forma compacta:
Isso representa o sistema linear que precisamos resolver para encontrar os coeficientes .
Resposta
As equações normais podem ser escritas na forma matricial , onde: