Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes
e
:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial parcial
, onde as variáveis são
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais parciais, especialmente sobre como integrar em relação a uma variável enquanto consideramos a outra como constante.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação
. Aqui,
significa a segunda derivada de
em relação a
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação.
Passo 3
Vamos começar integrando a equação em relação a
uma vez. Assim:
Aqui,
é uma função arbitrária de
porque, ao integrar em relação a
, a constante de integração pode depender de
.
Passo 4
Agora, vamos integrar novamente
em relação a
para encontrar
:
Onde
é outra função arbitrária de
, resultante da segunda integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Seja
Calcule a integral
para
, com
, no sentido horário.
Mostre que
é independente do caminho e calcule-a.
Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes
e
:
(b)
(b)
Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes
e
:
(d)
(d)