Mostre que
(i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que . Vamos usar conceitos de trigonometria, especificamente identidades trigonométricas de seno. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões envolvendo seno e aplicar as identidades apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade que relaciona a diferença de quadrados com senos de somas e diferenças. Sabemos que:
Aplicando isso ao nosso caso, onde e , temos:

Passo 3

Agora, vamos usar as identidades de soma e diferença de senos. Sabemos que:
Aplicando essas identidades ao que temos:

Passo 4

Substituindo essas expressões de volta na nossa equação inicial:
Multiplicando os termos:

Passo 5

Agora, usamos a identidade do dobro do ângulo, que diz que:
Aplicando isso aos termos que temos:

Passo 6

Substituindo de volta na equação:
Mas parece que houve um excesso no fator. Vamos voltar e corrigir:
Na verdade, ao aplicar a identidade do dobro do ângulo, temos:
Portanto, multiplicando 2 por 2 dá 4, e isso se cancela quando consideramos o lado direito da equação original.

Passo 7

Finalmente, chegamos à conclusão:

Resposta

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Mostre que
(a)
Resolva cada inequação em .
(a)
Mostre que
(n)
Mostre que
(j)