Mostre que
(i)
(ii)
(i)
(ii)
Passo 1
Vamos olhar o primeiro item do exercício. Precisamos provar que:
Esse exercício está na área de identidades trigonométricas. Para resolver, vamos usar a fórmula do produto de senos.
Passo 2
A fórmula do produto de senos diz que:
Vamos aplicar essa fórmula com
e
.
Passo 3
Substituindo
e
na fórmula:
Passo 4
Simplificando as expressões dentro dos cossenos:
Então:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por 2 para isolar a expressão original:
Isso prova o primeiro item.
Passo 6
Agora, vamos para o segundo item:
Aqui, vamos usar a fórmula do produto de cosseno e seno.
Passo 7
A fórmula que vamos usar é:
Vamos definir
e
.
Passo 8
Substituindo
e
na fórmula:
Passo 9
Simplificando as expressões dentro dos senos:
Então:
Passo 10
Sabemos que , então:
Portanto:
Isso prova o segundo item.
Resposta
As duas igualdades estão comprovadas: