Mostre que
(i) 2 sen(z1 + z2) sen(z1 - z2) = cos(2z2) - cos(2z1)
(ii) 2 cos(z1 + z2) sen(z1 - z2) = sen(2 z1) - sen(2 z2)

Passo 1

Vamos olhar o primeiro item do exercício. Precisamos provar que:
Esse exercício está na área de identidades trigonométricas. Para resolver, vamos usar a fórmula do produto de senos.

Passo 2

A fórmula do produto de senos diz que:
Vamos aplicar essa fórmula com e .

Passo 3

Substituindo e na fórmula:

Passo 4

Simplificando as expressões dentro dos cossenos:
Então:

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 2 para isolar a expressão original:
Isso prova o primeiro item.

Passo 6

Agora, vamos para o segundo item:
Aqui, vamos usar a fórmula do produto de cosseno e seno.

Passo 7

A fórmula que vamos usar é:
Vamos definir e .

Passo 8

Substituindo e na fórmula:

Passo 9

Simplificando as expressões dentro dos senos:
Então:

Passo 10

Sabemos que , então:
Portanto:
Isso prova o segundo item.

Resposta

As duas igualdades estão comprovadas:

Exercícios relacionados