Resolva as equações e^z = -1, e^z = 1 + i, e^z = -i, e^z = 3i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver umas equações exponenciais que envolvem números complexos. A gente vai precisar usar o conceito de logaritmo complexo para achar as soluções dessas equações. Basicamente, queremos encontrar todos os números complexos que satisfazem , onde é um número complexo dado.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação .
Primeiro, sabemos que pode ser escrito como , onde e são números reais. A função exponencial complexa é dada por:
Queremos que isso seja igual a , que pode ser representado como .
Para igualar as partes reais e imaginárias, temos:
Da segunda equação, , como nunca é zero, deve ser que . Isso acontece quando , onde é um número inteiro.
Substituindo na primeira equação:
Sabemos que . Então:
Para que seja real e positivo, precisamos que . Isso acontece quando é ímpar. Portanto, deve ser da forma , onde é um inteiro.
Assim:
E:
Portanto, as soluções são:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação .
Primeiro, calculamos o módulo e o argumento de :
Sabemos que , onde é um inteiro.
Portanto:

Passo 4

Vamos resolver agora .
Primeiro, encontramos o módulo e o argumento de :
Aplicando a fórmula do logaritmo complexo:
Podemos simplificar reescrevendo o argumento como , mas a forma atual já é válida.

Passo 5

Por último, vamos resolver .
Calculamos o módulo e o argumento de :
Aplicando a fórmula do logaritmo complexo:

Resposta

As soluções das equações são:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

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