Resolva as equações
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver umas equações exponenciais que envolvem números complexos. A gente vai precisar usar o conceito de logaritmo complexo para achar as soluções dessas equações. Basicamente, queremos encontrar todos os números complexos
que satisfazem
, onde
é um número complexo dado.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação
.
Primeiro, sabemos que
pode ser escrito como
, onde
e
são números reais. A função exponencial complexa é dada por:
Queremos que isso seja igual a
, que pode ser representado como
.
Para igualar as partes reais e imaginárias, temos:
Da segunda equação,
, como
nunca é zero, deve ser que
. Isso acontece quando
, onde
é um número inteiro.
Substituindo
na primeira equação:
Sabemos que
. Então:
Para que
seja real e positivo, precisamos que
. Isso acontece quando
é ímpar. Portanto,
deve ser da forma
, onde
é um inteiro.
Assim:
E:
Portanto, as soluções são:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação
.
Primeiro, calculamos o módulo e o argumento de
:
Sabemos que
, onde
é um inteiro.
Portanto:
Passo 4
Vamos resolver agora
.
Primeiro, encontramos o módulo e o argumento de
:
Aplicando a fórmula do logaritmo complexo:
Podemos simplificar reescrevendo o argumento como
, mas a forma atual já é válida.
Passo 5
Por último, vamos resolver
.
Calculamos o módulo e o argumento de
:
Aplicando a fórmula do logaritmo complexo:
Resposta
As soluções das equações são:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
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.