Verifique diretamente que F é uma antiderivada de f.
(d) F(x) = x ln x - x ; f(x) = ln x

Passo 1

Beleza, vamos verificar se a função é uma antiderivada da função . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, e para resolver, vamos precisar calcular a derivada de e ver se ela é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma antiderivada de uma função é outra função cuja derivada é igual à função original. Então, nosso objetivo aqui é derivar e ver se obtemos .

Passo 3

Vamos derivar termo por termo. Começamos com . Para derivar esse termo, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Aqui, e .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Agora, derivamos o segundo termo de , que é . A derivada de é simplesmente .

Passo 5

Juntando os resultados das derivadas dos dois termos:

Resposta

Assim, verificamos que é realmente uma antiderivada de .

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