Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a série de Fourier da função que é definida por partes:
E a função é periódica com período , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier, que nos permitem expressar funções periódicas em termos de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica de período tem a seguinte forma:
Onde:
é o termo constante.
são os coeficientes dos cossenos.
são os coeficientes dos senos.
Como nossa função não é nem par nem ímpar, teremos tanto termos de cosseno quanto de seno na série.
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente , que representa a média da função no intervalo :
Substituindo a definição de :
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes :
Novamente, substituindo :
Para resolver essa integral, usamos integração por partes:
Seja e , então e .
Aplicando a fórmula:
Então:
Sabemos que e , então:
Portanto:
Passo 5
Chegou a hora de calcular os coeficientes :
Substituindo :
Mais uma vez, usamos integração por partes:
Seja e , então e .
Aplicando a fórmula:
Sabendo que e :
Portanto:
Passo 6
Agora que temos todos os coeficientes, podemos montar a série de Fourier da função :