Seja e . Determine a série de Fourier da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a série de Fourier da função que é definida por partes:
E a função é periódica com período , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier, que nos permitem expressar funções periódicas em termos de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica de período tem a seguinte forma:
Onde:
  • é o termo constante.
  • são os coeficientes dos cossenos.
  • são os coeficientes dos senos.
Como nossa função não é nem par nem ímpar, teremos tanto termos de cosseno quanto de seno na série.

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente , que representa a média da função no intervalo :
Substituindo a definição de :

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Novamente, substituindo :
Para resolver essa integral, usamos integração por partes:
Seja e , então e .
Aplicando a fórmula:
Então:
Sabemos que e , então:
Portanto:

Passo 5

Chegou a hora de calcular os coeficientes :
Substituindo :
Mais uma vez, usamos integração por partes:
Seja e , então e .
Aplicando a fórmula:
Sabendo que e :
Portanto:

Passo 6

Agora que temos todos os coeficientes, podemos montar a série de Fourier da função :
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A série de Fourier da função é dada por:

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