Mostre que a soma de duas funções limitadas é uma função limitada.

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte problema: precisamos mostrar que se a gente pegar duas funções que são limitadas, digamos e , que vão de um conjunto para os números reais , a soma dessas duas funções também vai ser uma função limitada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser limitada e usar algumas propriedades básicas de desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função limitada. Uma função é limitada se existe um número real tal que, para todo em , o valor absoluto de é menor ou igual a . Em outras palavras, para todo .

Passo 3

Sabendo disso, como e são funções limitadas, isso significa que existem números reais e tais que:
Esses valores e são os “limites” das funções e , respectivamente.

Passo 4

Agora, queremos analisar a soma das duas funções, ou seja, . Vamos ver o que acontece com o valor absoluto dessa soma:
Para lidar com isso, vamos usar a desigualdade triangular, que nos diz que:
para quaisquer números reais e .

Passo 5

Aplicando a desigualdade triangular à soma , temos:
Sabemos que e , então substituindo esses valores na desigualdade:

Passo 6

Portanto, para todo , o valor absoluto de é menor ou igual a . Isso mostra que a função também é limitada, já que existe um número real que serve como restrição para todos os seus valores.

Resposta

Assim, provamos que a soma de duas funções limitadas e é uma função limitada, com limite máximo .

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Seja e . Determine a série de Fourier da função .
Mostre que .
Se e , mostre que .
Sejam . Mostre que
b) , com é solução da equação .