Mostre que a soma de duas funções limitadas
é uma função limitada.
Passo 1
Então, a gente tem o seguinte problema: precisamos mostrar que se a gente pegar duas funções que são limitadas, digamos
e
, que vão de um conjunto
para os números reais
, a soma dessas duas funções
também vai ser uma função limitada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser limitada e usar algumas propriedades básicas de desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função limitada. Uma função
é limitada se existe um número real
tal que, para todo
em
, o valor absoluto de
é menor ou igual a
. Em outras palavras,
para todo
.
Passo 3
Sabendo disso, como
e
são funções limitadas, isso significa que existem números reais
e
tais que:
Esses valores
e
são os “limites” das funções
e
, respectivamente.
Passo 4
Agora, queremos analisar a soma das duas funções, ou seja,
. Vamos ver o que acontece com o valor absoluto dessa soma:
Para lidar com isso, vamos usar a desigualdade triangular, que nos diz que:
para quaisquer números reais
e
.
Passo 5
Aplicando a desigualdade triangular à soma
, temos:
Sabemos que
e
, então substituindo esses valores na desigualdade:
Passo 6
Portanto, para todo
, o valor absoluto de
é menor ou igual a
. Isso mostra que a função
também é limitada, já que existe um número real
que serve como restrição para todos os seus valores.
Resposta
Assim, provamos que a soma de duas funções limitadas
e
é uma função limitada, com limite máximo
.
Exercícios relacionados
Seja
e
. Determine a série de Fourier da função
.
Mostre que
.
Se
e
, mostre que
.
Sejam
. Mostre que
b) , com
é solução da equação
.
b)