Seja
. Calcular aproximadamente
com precisão 0.001 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar aproximadamente o valor de
que faz
com uma precisão de 0.001. Isso significa que estamos procurando a raiz da função, ou seja, o valor de
onde a função cruza o eixo
.
Para resolver isso, vamos usar o método da bissecção, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. Esse método é simples e eficaz quando sabemos que a função muda de sinal em um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar um intervalo
onde a função
muda de sinal, ou seja, onde
e
têm sinais opostos. Isso garante que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores:
Aqui,
e
. Como os sinais são diferentes, sabemos que existe uma raiz entre
e
. Então, nosso intervalo inicial é
.
Passo 3
Agora, aplicamos o método da bissecção. Esse método funciona da seguinte maneira:
- Calculamos o ponto médio
do intervalo : . - Calculamos
. - Verificamos o sinal de
: - Se
e têm sinais opostos, a raiz está no intervalo . - Caso contrário, a raiz está no intervalo
.
- Se
- Repetimos o processo no novo intervalo até que a largura do intervalo seja menor que a precisão desejada (0.001).
Passo 4
Vamos começar a iterar:
Iteração 1:
-
, -
-
-
e , sinais opostos. - Atualizamos o intervalo para
.
Iteração 2:
-
, -
-
-
e , sinais opostos. - Atualizamos o intervalo para
.
Iteração 3:
-
, -
-
-
e , sinais opostos. - Atualizamos o intervalo para
.
Iteração 4:
-
, -
-
-
e , sinais opostos. - Atualizamos o intervalo para
.
Iteração 5:
-
, -
-
-
e , sinais opostos. - Atualizamos o intervalo para
.
Iteração 6:
-
, -
-
-
e , sinais opostos. - Atualizamos o intervalo para
.
Iteração 7:
-
, -
-
-
e , sinais opostos. - Atualizamos o intervalo para
.
Iteração 8:
-
, -
-
-
e , sinais opostos. - Atualizamos o intervalo para
.
Iteração 9:
-
, -
-
-
e , sinais opostos. - Atualizamos o intervalo para
.
Iteração 10:
-
, -
-
-
e , sinais opostos. - Atualizamos o intervalo para
.
Iteração 11:
-
, -
-
-
e , sinais opostos. - Atualizamos o intervalo para
.
Iteração 12:
-
, -
- Como a diferença é menor que 0.001, paramos aqui.
Resposta
Aproximadamente, a raiz
da função
com precisão de 0.001 é
.
Exercícios relacionados
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Esboce o gráfico de um exemplo de função
que satisfaz todas as condiçôes dadas.
Mostre que
.