Seja
Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir as derivadas parciais de em relação a e a . A função é definida de duas formas: uma quando não é o ponto e outra quando é exatamente . Para resolver isso, vamos usar as regras de derivadas parciais e ver como a função se comporta em cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a quando . A função nesse caso é:
Para derivar isso em relação a , vamos usar a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a quando . Mais uma vez, usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Passo 4

Por fim, precisamos verificar as derivadas parciais no ponto . Como a função está definida como 0 nesse ponto, vamos calcular os limites das derivadas parciais conforme se aproxima de .
Para em :
Esse limite não existe de forma única, então a derivada parcial em não está definida.
Para em :
Assim como antes, esse limite também não existe de forma única, então a derivada parcial em não está definida.

Resposta

As derivadas parciais de são:
No ponto , as derivadas parciais não estão definidas.

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