Seja f(x, y)= x-3 yx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0), 0, & se (x, y)=(0,0)
Determine partial fpartial x e partial fpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir as derivadas parciais de em relação a e a . A função é definida de duas formas: uma quando não é o ponto e outra quando é exatamente . Para resolver isso, vamos usar as regras de derivadas parciais e ver como a função se comporta em cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = x - 3yx^2 + y^2 em relação a partial fpartial x = (1)(x^2 + y^2) - (x - 3y)(2x)(x^2 + y^2)^2 quando x^2 + y^2 - 2x(x - 3y) = x^2 + y^2 - 2x^2 + 6xy = -x^2 + y^2 + 6xy . A função nesse caso é:
partial fpartial x = -x^2 + y^2 + 6xy(x^2 + y^2)^2
Para derivar isso em relação a , vamos usar a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = (-3)(x^2 + y^2) - (x - 3y)(2y)(x^2 + y^2)^2 em relação a -3x^2 - 3y^2 - 2y(x - 3y) = -3x^2 - 3y^2 - 2xy + 6y^2 = -3x^2 + 3y^2 - 2xy quando partial fpartial y = -3x^2 + 3y^2 - 2xy(x^2 + y^2)^2 . Mais uma vez, usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Passo 4

Por fim, precisamos verificar as derivadas parciais no ponto lim(x, y) to (0,0) -x^2 + y^2 + 6xy(x^2 + y^2)^2 . Como a função está definida como 0 nesse ponto, vamos calcular os limites das derivadas parciais conforme lim(x, y) to (0,0) -3x^2 + 3y^2 - 2xy(x^2 + y^2)^2 se aproxima de .
Para em :
Esse limite não existe de forma única, então a derivada parcial em não está definida.
Para em :
Assim como antes, esse limite também não existe de forma única, então a derivada parcial em não está definida.

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial x = -x^2 + y^2 + 6xy(x^2 + y^2)^2 para (x, y) neq (0,0) são:
partial fpartial y = -3x^2 + 3y^2 - 2xy(x^2 + y^2)^2 para (x, y) neq (0,0)
No ponto , as derivadas parciais não estão definidas.

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