Seja
Determine
e
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir as derivadas parciais de
em relação a
e a
. A função
é definida de duas formas: uma quando
não é o ponto
e outra quando é exatamente
. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivadas parciais e ver como a função se comporta em cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
quando
. A função nesse caso é:
Para derivar isso em relação a
, vamos usar a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
quando
. Mais uma vez, usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Passo 4
Por fim, precisamos verificar as derivadas parciais no ponto
. Como a função está definida como 0 nesse ponto, vamos calcular os limites das derivadas parciais conforme
se aproxima de
.
Para
em
:
Esse limite não existe de forma única, então a derivada parcial em
não está definida.
Para
em
:
Assim como antes, esse limite também não existe de forma única, então a derivada parcial em
não está definida.
Resposta
As derivadas parciais de
são:
No ponto
, as derivadas parciais não estão definidas.
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Mostre que a integral
é nula, qualquer que seja a curva fechada
de classe
por partes.
Verifique em cada um dos casos abaixo se o campo vetorial dado é conservativo, justificando sua resposta.
Resolva a equação diferencial
, sujeita às condições:
-
-
Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre que; b) Calcule as transformadas de Laplace e ; c) Mostre que iw se . d) Utilize os resultados anteriores para obter a forma integral da solução, justifique cada passo da solução; e) Deduza a função de Green do problema.
Resolva a equação diferencial
e sujeita às condições:
-
-
Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre quese .; b) Calcule a transformada de Fourier c) Utilize os resultados anteriores para obter a forma integral da solução, justifique cada passo da solução; d) Deduza a função de Green do problema.