Resolva a equação diferencial , sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre que ; b) Calcule as transformadas de Laplace e ; c) Mostre que iw se . d) Utilize os resultados anteriores para obter a forma integral da solução, justifique cada passo da solução; e) Deduza a função de Green do problema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial com as condições que se aproxima de 0 quando vai para e . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem e o uso de transformadas de Laplace e Fourier. Vamos precisar lembrar como funcionam as transformadas, suas propriedades e, no final, encontrar a função de Green que nos ajuda a solucionar a equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a transformada de Laplace da segunda derivada de é .
A transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando isso duas vezes para :

Passo 3

Agora, vamos calcular as transformadas de Laplace de e .
A transformada de Laplace de é:
E a transformada de Laplace de é:
Essas fórmulas são úteis porque transformam funções trigonométricas em funções racionais de , o que facilita a resolução de equações diferenciais.

Passo 4

Vamos mostrar que a transformada de Fourier da derivada de uma função é se pertence ao espaço , que são funções suaves e de suporte compacto.
A transformada de Fourier é definida por:
Ao derivar dentro da integral, temos:
Como tem suporte compacto, os termos de fronteira desaparecem, restando:

Passo 5

Agora, vamos usar os resultados anteriores para obter a forma integral da solução. A ideia é aplicar a transformada de Fourier na equação diferencial .
Aplicando a transformada de Fourier:
Usando o resultado do passo 4:
Fatorando :
Então:
Para encontrar , aplicamos a transformada inversa de Fourier:
Essa expressão representa a solução em termos de uma integral.

Passo 6

Finalmente, vamos deduzir a função de Green para o problema. A função de Green satisfaz a equação diferencial homogênea associada:
Aplicando a transformada de Fourier:
Resolvendo para :
Portanto, a função de Green é:
Essa função representa a resposta do sistema a um impulso e é usada para construir a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições de que tende a zero quando vai para e é dada por:
Essa expressão utiliza a função de Green para construir a solução integral da equação diferencial.

Exercícios relacionados

Seja
Determine e .
Mostre que a integral é nula, qualquer que seja a curva fechada de classe por partes.
Resolva a equação diferencial e sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre que se .; b) Calcule a transformada de Fourier c) Utilize os resultados anteriores para obter a forma integral da solução, justifique cada passo da solução; d) Deduza a função de Green do problema.
Mostre que é solução da EDO , onde é o delta de Dirac e a função degrau.