Resolva a equação diferencial
, sujeita às condições:
-
-
Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre que
; b) Calcule as transformadas de Laplace
e
; c) Mostre que
iw
se
. d) Utilize os resultados anteriores para obter a forma integral da solução, justifique cada passo da solução; e) Deduza a função de Green do problema.
Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
com as condições que
se aproxima de 0 quando
vai para
e
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem e o uso de transformadas de Laplace e Fourier. Vamos precisar lembrar como funcionam as transformadas, suas propriedades e, no final, encontrar a função de Green que nos ajuda a solucionar a equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a transformada de Laplace da segunda derivada de
é
.
A transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando isso duas vezes para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as transformadas de Laplace de
e
.
A transformada de Laplace de
é:
E a transformada de Laplace de
é:
Essas fórmulas são úteis porque transformam funções trigonométricas em funções racionais de
, o que facilita a resolução de equações diferenciais.
Passo 4
Vamos mostrar que a transformada de Fourier da derivada de uma função
é
se
pertence ao espaço
, que são funções suaves e de suporte compacto.
A transformada de Fourier é definida por:
Ao derivar dentro da integral, temos:
Como
tem suporte compacto, os termos de fronteira desaparecem, restando:
Passo 5
Agora, vamos usar os resultados anteriores para obter a forma integral da solução. A ideia é aplicar a transformada de Fourier na equação diferencial
.
Aplicando a transformada de Fourier:
Usando o resultado do passo 4:
Fatorando
:
Então:
Para encontrar
, aplicamos a transformada inversa de Fourier:
Essa expressão representa a solução em termos de uma integral.
Passo 6
Finalmente, vamos deduzir a função de Green para o problema. A função de Green
satisfaz a equação diferencial homogênea associada:
Aplicando a transformada de Fourier:
Resolvendo para
:
Portanto, a função de Green é:
Essa função representa a resposta do sistema a um impulso
e é usada para construir a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução da equação diferencial
com as condições de que
tende a zero quando
vai para
e
é dada por:
Essa expressão utiliza a função de Green
para construir a solução integral da equação diferencial.
Exercícios relacionados
Seja
Determine e
.
Determine
Mostre que a integral
é nula, qualquer que seja a curva fechada
de classe
por partes.
Resolva a equação diferencial
e sujeita às condições:
-
-
Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre quese .; b) Calcule a transformada de Fourier c) Utilize os resultados anteriores para obter a forma integral da solução, justifique cada passo da solução; d) Deduza a função de Green do problema.
Mostre que
é solução da EDO
, onde
é o delta de Dirac e
a função degrau.