Resolva a equação diferencial y^prime+a y=f(x), sujeita às condições:
  1. lim x infty y(x)=0
  2. lim x -infty y(x)=0
    Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre que Lf(x)^prime prime=s^2 barf-s f(0)-f^prime(0); b) Calcule as transformadas de Laplace Lcos (w x) e Lsin (w x); c) Mostre que Fphi(x)^prime=( iw Fphi(x) se phi(x) in C0^infty. d) Utilize os resultados anteriores para obter a forma integral da solução, justifique cada passo da solução; e) Deduza a função de Green do problema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial com as condições que se aproxima de 0 quando vai para e . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem e o uso de transformadas de Laplace e Fourier. Vamos precisar lembrar como funcionam as transformadas, suas propriedades e, no final, encontrar a função de Green que nos ajuda a solucionar a equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a transformada de Laplace da segunda derivada de Lf'(x) = s Lf(x) - f(0) é Lf''(x) = s Lf'(x) - f'(0) = s (s Lf(x) - f(0)) - f'(0) = s^2 barf - s f(0) - f'(0) .
A transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando isso duas vezes para :

Passo 3

Agora, vamos calcular as transformadas de Laplace de Lcos(wx) = ss^2 + w^2 e Lsin(wx) = ws^2 + w^2 .
A transformada de Laplace de é:
E a transformada de Laplace de é:
Essas fórmulas são úteis porque transformam funções trigonométricas em funções racionais de , o que facilita a resolução de equações diferenciais.

Passo 4

Vamos mostrar que a transformada de Fourier da derivada de uma função Fphi(x) = integral-infty^infty phi(x) e^-i omega x dx é Fphi'(x) = integral-infty^infty phi'(x) e^-i omega x dx = [phi(x)e^-i omega x]-infty^infty + i omega integral-infty^infty phi(x) e^-i omega x dx se Fphi'(x) = i omega Fphi(x) pertence ao espaço , que são funções suaves e de suporte compacto.
A transformada de Fourier é definida por:
Ao derivar dentro da integral, temos:
Como tem suporte compacto, os termos de fronteira desaparecem, restando:

Passo 5

Agora, vamos usar os resultados anteriores para obter a forma integral da solução. A ideia é aplicar a transformada de Fourier na equação diferencial Fy' + a Fy = Ff(x) .
Aplicando a transformada de Fourier:
i omega Fy + a Fy = Ff(x)
Usando o resultado do passo 4:
Fy (a + i omega) = Ff(x)
Fatorando Fy = Ff(x)a + i omega :
y(x) = F^-1 Ff(x)a + i omega
Então:
Para encontrar , aplicamos a transformada inversa de Fourier:
Essa expressão representa a solução em termos de uma integral.

Passo 6

Finalmente, vamos deduzir a função de Green para o problema. A função de Green G'(x) + a G(x) = de satisfaz a equação diferencial homogênea associada:
i omega FG + a FG = 1
Aplicando a transformada de Fourier:
FG = 1a + i omega
Resolvendo para G(x) = F^-1 1a + i omega = 12a e^-a |x| :
Portanto, a função de Green é:
Essa função representa a resposta do sistema a um impulso e é usada para construir a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução da equação diferencial y(x) = 12a integral-infty^infty e^-a |x - xi| f(xi) dxi com as condições de que tende a zero quando vai para e é dada por:
Essa expressão utiliza a função de Green para construir a solução integral da equação diferencial.

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