Regularize a função
usando o parâmetro
, i.e,
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é um, i.e,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de matemática que envolve funções e integrais no espaço tridimensional. O problema pede para a gente “regularizar” uma função, que basicamente significa ajustar a função para que ela se comporte melhor em certos pontos, usando um parâmetro
. Depois, precisamos mostrar que a integral do Laplaciano dessa função regularizada sobre todo o espaço
é igual a 1.
Matérias envolvidas:
- Cálculo Diferencial (Laplaciano)
- Integrais no Espaço Tridimensional
- Regularização de Funções
O que vamos precisar:
- Entender o que é o Laplaciano (
) - Saber calcular integrais em
- Aplicar propriedades da função regularizada dada
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função regularizada que nos foi dada:
Essa função é uma versão “suavizada” da função
, onde
é a distância euclidiana entre os pontos
e
no espaço tridimensional. A regularização com
evita que a função se torne infinita quando
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o Laplaciano da função
. O Laplaciano é uma operação que envolve derivadas segundas em relação a cada componente das coordenadas espaciais. Em coordenadas cartesians, ele é dado por:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 4
Observando a função
, notamos que a única variável é
(já que
é uma constante em relação à integração). Vamos simplificar a notação definindo:
Então podemos reescrever a função como:
Passo 5
Agora, vamos calcular o Laplaciano de
. Sabemos que, no espaço tridimensional, o Laplaciano de
é:
onde
é a função delta de Dirac, que é zero em todos os lugares exceto em
e integra para 1.
Aplicando isso à nossa função
:
Passo 6
Agora que temos o Laplaciano da função regularizada, vamos integrar isso sobre todo o espaço
:
A propriedade fundamental da função delta de Dirac é que:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Mostre que o Laplaciano em três dimensões, i.e.,
atuando sobre
é zero para todo
, i.e.,
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é a função delta de Dirac, i.e,
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é a função delta de Dirac, i.e,
Segunda identidade de Green: