Regularize a função 1 / sigma(x, y) usando o parâmetro varepsilon>0, i.e,
Gvarepsilon(x, y)=-14 pi 1raiz(x1-y1)^2+(x2-y2)^2+(x3-y3)^2+varepsilon^2
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é um, i.e,
integralR^3 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) d^3 x=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de matemática que envolve funções e integrais no espaço tridimensional. O problema pede para a gente “regularizar” uma função, que basicamente significa ajustar a função para que ela se comporte melhor em certos pontos, usando um parâmetro . Depois, precisamos mostrar que a integral do Laplaciano dessa função regularizada sobre todo o espaço é igual a 1.
Matérias envolvidas:
  • Cálculo Diferencial (Laplaciano)
  • Integrais no Espaço Tridimensional
  • Regularização de Funções
O que vamos precisar:
  • Entender o que é o Laplaciano ( )
  • Saber calcular integrais em
  • Aplicar propriedades da função regularizada dada

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função regularizada que nos foi dada:
Gvarepsilon(x, y) = -14 pi 1raiz(x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2 + (x3 - y3)^2 + varepsilon^2
Essa função é uma versão “suavizada” da função , onde é a distância euclidiana entre os pontos e no espaço tridimensional. A regularização com evita que a função se torne infinita quando .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o Laplaciano da função nabla^2 Gvarepsilon = partial^2 Gvarepsilonpartial x1^2 + partial^2 Gvarepsilonpartial x2^2 + partial^2 Gvarepsilonpartial x3^2 . O Laplaciano é uma operação que envolve derivadas segundas em relação a cada componente das coordenadas espaciais. Em coordenadas cartesians, ele é dado por:
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 4

Observando a função r^2 = (x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2 + (x3 - y3)^2 + varepsilon^2 , notamos que a única variável é Gvarepsilon(x, y) = -14 pi 1raizr^2 = -14 pi 1r (já que é uma constante em relação à integração). Vamos simplificar a notação definindo:
Então podemos reescrever a função como:

Passo 5

Agora, vamos calcular o Laplaciano de nabla^2 ( 1r ) = -4 pi de. Sabemos que, no espaço tridimensional, o Laplaciano de nabla^2 Gvarepsilon = -14 pi nabla^2 ( 1r ) = -14 pi (-4 pi de é:
onde é a função delta de Dirac, que é zero em todos os lugares exceto em e integra para 1.
Aplicando isso à nossa função :

Passo 6

Agora que temos o Laplaciano da função regularizada, vamos integrar isso sobre todo o espaço integralR^3 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) , d^3 x = integralR^3 de:
integralR^3 de
A propriedade fundamental da função delta de Dirac é que:

Resposta

Portanto, mostramos que:
integralR^3 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) , d^3 x = 1

Exercícios relacionados

Mostre que o Laplaciano em três dimensões, i.e.,
nabla^2=partial^2partial x1^2+partial^2partial x2^2+partial^2partial x3^2
atuando sobre 1 / sigma(x, y) é zero para todo x neq y, i.e.,
nabla^2 1sigma(x, y)=0
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é a função delta de Dirac, i.e,
integralR^2 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) f(y) d^2 y=f(x)
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é a função delta de Dirac, i.e,
integralR^3 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) f(y) d^3 y=f(x)
Segunda identidade de Green:
ointpartial Omega(phi nabla psi-psi nabla phi) cdot d S=integralOmega(phi nabla^2 psi-psi nabla^2 phi) d^3 x