Mostre que o Laplaciano em três dimensões, i.e.,
atuando sobre
é zero para todo
, i.e.,
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente precisa mostrar que o Laplaciano em três dimensões, que é uma combinação das segundas derivadas parciais em relação a
,
e
, aplicado na função
resulta em zero sempre que
for diferente de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente relacionados ao operador Laplaciano e propriedades de funções envolvendo distâncias no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Laplaciano. Em três dimensões, o Laplaciano de uma função
é definido como:
Esse operador mede a soma das curvaturas de
em cada uma das direções espaciais.
Passo 3
Agora, queremos aplicar esse operador na função
. Geralmente,
representa a distância entre os pontos
e
no espaço tridimensional, ou seja:
Portanto, nossa função fica:
Passo 4
Nosso objetivo é calcular o Laplaciano dessa função e mostrar que ele é igual a zero quando
. Para isso, lembramos de uma propriedade importante: o Laplaciano de
, onde
, é zero em todos os pontos onde
. Ou seja:
Passo 5
Aplicando essa propriedade à nossa função
, percebemos que
agora é
. Assim, desde que
, temos
, e portanto:
Resposta
O Laplaciano de
é igual a zero para todo
.
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usando o parâmetro
, i.e,
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