Mostre que o Laplaciano em três dimensões, i.e.,
nabla^2=partial^2partial x1^2+partial^2partial x2^2+partial^2partial x3^2
atuando sobre 1 / sigma(x, y) é zero para todo x neq y, i.e.,
nabla^2 1sigma(x, y)=0

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente precisa mostrar que o Laplaciano em três dimensões, que é uma combinação das segundas derivadas parciais em relação a , e , aplicado na função resulta em zero sempre que for diferente de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente relacionados ao operador Laplaciano e propriedades de funções envolvendo distâncias no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Laplaciano. Em três dimensões, o Laplaciano de uma função nabla^2 f = partial^2 fpartial x1^2 + partial^2 fpartial x2^2 + partial^2 fpartial x3^2 é definido como:
Esse operador mede a soma das curvaturas de em cada uma das direções espaciais.

Passo 3

Agora, queremos aplicar esse operador na função sigma(x, y) = |x - y| = raiz(x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2 + (x3 - y3)^2 . Geralmente, f = 1|x - y| representa a distância entre os pontos e no espaço tridimensional, ou seja:
Portanto, nossa função fica:

Passo 4

Nosso objetivo é calcular o Laplaciano dessa função e mostrar que ele é igual a zero quando nabla^2 (1r) = 0 para r neq 0 . Para isso, lembramos de uma propriedade importante: o Laplaciano de , onde , é zero em todos os pontos onde . Ou seja:

Passo 5

Aplicando essa propriedade à nossa função nabla^2 (1|x - y|) = 0 para x neq y , percebemos que agora é . Assim, desde que , temos , e portanto:

Resposta

O Laplaciano de é igual a zero para todo .

Exercícios relacionados

Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é a função delta de Dirac, i.e,
integralR^2 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) f(y) d^2 y=f(x)
Podemos regularizar a função ln sigma(x, y) usando o parâmetro varepsilon>0, i.e,
Gvarepsilon(x, y)=12 pi ln raiz(x1-y1)^2+(x2-y2)^2+varepsilon^2
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é um, i.e,
integralR^2 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) d^2 x=1
Regularize a função 1 / sigma(x, y) usando o parâmetro varepsilon>0, i.e,
Gvarepsilon(x, y)=-14 pi 1raiz(x1-y1)^2+(x2-y2)^2+(x3-y3)^2+varepsilon^2
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é um, i.e,
integralR^3 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) d^3 x=1
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é a função delta de Dirac, i.e,
integralR^3 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) f(y) d^3 y=f(x)