Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é a função delta de Dirac, i.e,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a integral do Laplaciano da função regularizada
multiplicada por uma função
sobre todo o espaço tridimensional
resulta em
. Isso está ligado ao estudo das equações diferenciais parciais e funções de Green, que são ferramentas que ajudam a resolver essas equações. Para resolver, vamos precisar entender o que é o Laplaciano, a função de Green regularizada e a função delta de Dirac.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Laplaciano. O Laplaciano de uma função
em três dimensões é dado por:
O Laplaciano é uma operação que mede a variação da função em torno de um ponto, importante em física e matemática para descrever fenômenos como a difusão e campos eletrostáticos.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a função de Green regularizada
. Essa função é uma versão “suavizada” da função delta de Dirac, que evita as complicações de singularidades. A regularização geralmente envolve um parâmetro
que controla essa suavização.
A ideia é que, no limite quando
tende a zero,
se aproxima da função delta de Dirac
, que tem a propriedade:
Passo 4
Vamos agora analisar a integral dada no exercício:
O objetivo é mostrar que isso é igual a
. Para isso, vamos usar a propriedade da função delta de Dirac mencionada anteriormente e a regularização da função de Green.
Passo 5
Assumindo que
é escolhida de forma que:
quando
tende a zero. Isso significa que o Laplaciano da função de Green regularizada se aproxima da função delta de Dirac.
Passo 6
Substituindo essa aproximação na integral, temos:
E sabemos que:
Passo 7
Como
é uma aproximação da função delta de Dirac, no limite quando
tende a zero, a integral realmente se iguala a
.
Resposta
Portanto, mostramos que: