Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é a função delta de Dirac, i.e,
integralR^3 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) f(y) d^3 y=f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a integral do Laplaciano da função regularizada multiplicada por uma função sobre todo o espaço tridimensional resulta em . Isso está ligado ao estudo das equações diferenciais parciais e funções de Green, que são ferramentas que ajudam a resolver essas equações. Para resolver, vamos precisar entender o que é o Laplaciano, a função de Green regularizada e a função delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Laplaciano. O Laplaciano de uma função nabla^2 G(x, y) = partial^2 Gpartial x^2 + partial^2 Gpartial y^2 + partial^2 Gpartial z^2 em três dimensões é dado por:
O Laplaciano é uma operação que mede a variação da função em torno de um ponto, importante em física e matemática para descrever fenômenos como a difusão e campos eletrostáticos.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a função de Green regularizada integralR^3 de. Essa função é uma versão “suavizada” da função delta de Dirac, que evita as complicações de singularidades. A regularização geralmente envolve um parâmetro que controla essa suavização.
A ideia é que, no limite quando tende a zero, se aproxima da função delta de Dirac , que tem a propriedade:

Passo 4

Vamos agora analisar a integral dada no exercício:
integralR^3 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) f(y) , d^3 y
O objetivo é mostrar que isso é igual a . Para isso, vamos usar a propriedade da função delta de Dirac mencionada anteriormente e a regularização da função de Green.

Passo 5

Assumindo que nabla^2 Gvarepsilon(x, y) approx de é escolhida de forma que:
quando tende a zero. Isso significa que o Laplaciano da função de Green regularizada se aproxima da função delta de Dirac.

Passo 6

Substituindo essa aproximação na integral, temos:
integralR^3 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) f(y) , d^3 y approx integralR^3 de
E sabemos que:
integralR^3 de

Passo 7

Como é uma aproximação da função delta de Dirac, no limite quando tende a zero, a integral realmente se iguala a .

Resposta

Portanto, mostramos que:
integralR^3 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) f(y) , d^3 y = f(x)

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Regularize a função 1 / sigma(x, y) usando o parâmetro varepsilon>0, i.e,
Gvarepsilon(x, y)=-14 pi 1raiz(x1-y1)^2+(x2-y2)^2+(x3-y3)^2+varepsilon^2
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é um, i.e,
integralR^3 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) d^3 x=1
Mostre que o Laplaciano em três dimensões, i.e.,
nabla^2=partial^2partial x1^2+partial^2partial x2^2+partial^2partial x3^2
atuando sobre 1 / sigma(x, y) é zero para todo x neq y, i.e.,
nabla^2 1sigma(x, y)=0
Segunda identidade de Green:
ointpartial Omega(phi nabla psi-psi nabla phi) cdot d S=integralOmega(phi nabla^2 psi-psi nabla^2 phi) d^3 x
Use as identidades de Green e a função de Green para o Laplaciano para resolver a equação de Poisson em três dimensões, i.e,
nabla^2 phi(x) = -rho(x)
onde rho(x) é uma função fonte. Discuta as condições de contorno para a solução da equação de Poisson.