Use as identidades de Green e a função de Green para o Laplaciano para resolver a equação de Poisson em três dimensões, i.e,
onde
é uma função fonte. Discuta as condições de contorno para a solução da equação de Poisson.
Passo 1
Então, a gente tem aqui a equação de Poisson em três dimensões:
O lance é resolver essa equação usando as identidades de Green e a função de Green para o Laplaciano. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores diferenciais, integrais de superfície e como a função de Green funciona nesse contexto. Além disso, vamos discutir as condições de contorno necessárias pra encontrar a solução correta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Poisson. Ela relaciona o Laplaciano de uma função potencial,
, com uma função fonte,
. O Laplaciano, denotado por
, é um operador que envolve as segundas derivadas de
em relação às coordenadas espaciais. Resolver essa equação significa encontrar
dado
.
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, vamos usar a função de Green para o Laplaciano. A função de Green,
, satisfaz a seguinte equação:
Aqui,
é a função delta de Dirac, que “seleciona” o ponto
. A ideia é expressar
como uma integral envolvendo
e
.
Passo 4
A solução geral para a equação de Poisson usando a função de Green é dada por:
Isso significa que a função potencial
em cada ponto
é a soma das contribuições das fontes
em todos os pontos
, ponderadas pela função de Green
.
Passo 5
Para que essa solução funcione, precisamos considerar as condições de contorno apropriadas. As condições de contorno determinam como a função potencial
se comporta nas fronteiras do domínio considerado. Por exemplo, se estamos trabalhando no espaço infinito, uma condição comum é que
tende a zero quando
tende ao infinito. Outras condições de contorno podem envolver a especificação do valor de
ou de seu gradiente em uma superfície fechada.
Passo 6
As condições de contorno são essenciais porque a solução da equação de Poisson não é única sem elas. Elas garantem que a função de Green escolhida seja adequada para o problema específico. Por exemplo, a função de Green para o Laplaciano no espaço livre (infinito) é conhecida e atende à condição de que
tende a zero no infinito.
Resposta
A solução da equação de Poisson em três dimensões é dada por:
onde
é a função de Green para o Laplaciano, e as condições de contorno, como
quando
, são essenciais para determinar a solução única.
Exercícios relacionados
Segunda identidade de Green:
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é a função delta de Dirac, i.e,
Encontrar uma primitiva
da função
tal que
.
Calcule: