Use as identidades de Green e a função de Green para o Laplaciano para resolver a equação de Poisson em três dimensões, i.e,
nabla^2 phi(x) = -rho(x)
onde rho(x) é uma função fonte. Discuta as condições de contorno para a solução da equação de Poisson.

Passo 1

Então, a gente tem aqui a equação de Poisson em três dimensões:
O lance é resolver essa equação usando as identidades de Green e a função de Green para o Laplaciano. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores diferenciais, integrais de superfície e como a função de Green funciona nesse contexto. Além disso, vamos discutir as condições de contorno necessárias pra encontrar a solução correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Poisson. Ela relaciona o Laplaciano de uma função potencial, phi(x), com uma função fonte, rho(x). O Laplaciano, denotado por nabla^2, é um operador que envolve as segundas derivadas de phi em relação às coordenadas espaciais. Resolver essa equação significa encontrar phi(x) dado rho(x).

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, vamos usar a função de Green para o Laplaciano. A função de Green, , satisfaz a seguinte equação:
Aqui, é a função delta de Dirac, que “seleciona” o ponto . A ideia é expressar phi(x) como uma integral envolvendo e .

Passo 4

A solução geral para a equação de Poisson usando a função de Green é dada por:
Isso significa que a função potencial phi(x) em cada ponto x é a soma das contribuições das fontes em todos os pontos , ponderadas pela função de Green .

Passo 5

Para que essa solução funcione, precisamos considerar as condições de contorno apropriadas. As condições de contorno determinam como a função potencial phi(x) se comporta nas fronteiras do domínio considerado. Por exemplo, se estamos trabalhando no espaço infinito, uma condição comum é que phi(x) tende a zero quando |x| tende ao infinito. Outras condições de contorno podem envolver a especificação do valor de phi ou de seu gradiente em uma superfície fechada.

Passo 6

As condições de contorno são essenciais porque a solução da equação de Poisson não é única sem elas. Elas garantem que a função de Green escolhida seja adequada para o problema específico. Por exemplo, a função de Green para o Laplaciano no espaço livre (infinito) é conhecida e atende à condição de que phi(x) tende a zero no infinito.

Resposta

A solução da equação de Poisson em três dimensões é dada por:
onde é a função de Green para o Laplaciano, e as condições de contorno, como quando , são essenciais para determinar a solução única.

Exercícios relacionados

Segunda identidade de Green:
ointpartial Omega(phi nabla psi-psi nabla phi) cdot d S=integralOmega(phi nabla^2 psi-psi nabla^2 phi) d^3 x
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é a função delta de Dirac, i.e,
integralR^3 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) f(y) d^3 y=f(x)
Encontrar uma primitiva F(x) da função f(x) = 2 / x^3 tal que F(2) = 1.
Calcule:
integral1^3 e^-4 x d x