Segunda identidade de Green:
ointpartial Omega(phi nabla psi-psi nabla phi) cdot d S=integralOmega(phi nabla^2 psi-psi nabla^2 phi) d^3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que você me passou é sobre a Segunda Identidade de Green. Essa identidade faz parte do cálculo vetorial e envolve integrais de superfície e de volume. Para resolver ou entender essa identidade, vamos precisar saber sobre gradientes, divergentes e o Teorema da Divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de fluxo de um campo vetorial através da fronteira de uma região é igual à integral do divergente desse campo sobre a própria região. Em fórmulas:
ointpartial Omega F cdot dS = integralOmega (nabla cdot F) , d^3 x

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse teorema ao campo vetorial específico que aparece na identidade que queremos provar:
F = phi nabla psi - psi nabla phi
Queremos calcular o divergente desse campo, ou seja, nabla cdot F.

Passo 4

Vamos calcular o divergente de F passo a passo:
nabla cdot (phi nabla psi - psi nabla phi) = nabla cdot (phi nabla psi) - nabla cdot (psi nabla phi)
Agora, usando a regra do produto para o divergente:
nabla cdot (phi nabla psi) = phi nabla^2 psi + nabla phi cdot nabla psi
nabla cdot (psi nabla phi) = psi nabla^2 phi + nabla psi cdot nabla phi
Subtraindo as duas expressões:
nabla cdot (phi nabla psi - psi nabla phi) = phi nabla^2 psi - psi nabla^2 phi

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema da Divergência:
ointpartial Omega (phi nabla psi - psi nabla phi) cdot dS = integralOmega (phi nabla^2 psi - psi nabla^2 phi) , d^3 x
E voilà! Demonstramos a Segunda Identidade de Green.

Resposta

A Segunda Identidade de Green está comprovada:
ointpartial Omega(phi nabla psi-psi nabla phi) cdot d S=integralOmega(phi nabla^2 psi-psi nabla^2 phi) d^3 x

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