Segunda identidade de Green:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que você me passou é sobre a Segunda Identidade de Green. Essa identidade faz parte do cálculo vetorial e envolve integrais de superfície e de volume. Para resolver ou entender essa identidade, vamos precisar saber sobre gradientes, divergentes e o Teorema da Divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de fluxo de um campo vetorial através da fronteira de uma região é igual à integral do divergente desse campo sobre a própria região. Em fórmulas:
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse teorema ao campo vetorial específico que aparece na identidade que queremos provar:
Queremos calcular o divergente desse campo, ou seja,
.
Passo 4
Vamos calcular o divergente de
passo a passo:
Agora, usando a regra do produto para o divergente:
Subtraindo as duas expressões:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema da Divergência:
E voilà! Demonstramos a Segunda Identidade de Green.
Resposta
A Segunda Identidade de Green está comprovada:
Exercícios relacionados
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é a função delta de Dirac, i.e,
Regularize a função
usando o parâmetro
, i.e,
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é um, i.e,
Use as identidades de Green e a função de Green para o Laplaciano para resolver a equação de Poisson em três dimensões, i.e,
onde
é uma função fonte. Discuta as condições de contorno para a solução da equação de Poisson.
Encontrar uma primitiva
da função
tal que
.