Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde
é o círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A curva
é um círculo com equação
e está orientada no sentido anti-horário. A integral que vamos resolver é:
Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que a curva delimita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
no plano, temos:
Onde
e
são funções que dependem de
e
.
Passo 3
No nosso caso, identificamos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Então, a integral dupla é igual a 2 vezes a área da região
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a área da região
. Como
é o círculo
, o raio
é 2. A área de um círculo é dada por:
Passo 6
Multiplicando a área por 2, temos:
Resposta
A integral vale
.
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onde
é o retângulo limitado por
e
.
Mostre que a integral de linha
é independente do caminho.
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde
é o triângulo de vértices
.
Use uma integral de linha para encontrar a área do triângulo de vértices
,
, onde
e
.