Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
ointC(x^2-y) d x+x d y onde C é o círculo x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A curva ointC(x^2-y) dx + x dy é um círculo com equação e está orientada no sentido anti-horário. A integral que vamos resolver é:
Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que a curva delimita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx dy que delimita uma região no plano, temos:
Onde e são funções que dependem de e .

Passo 3

No nosso caso, identificamos:
  • partial Qpartial x = partialpartial x(x) = 1
  • partial Ppartial y = partialpartial y(x^2 - y) = -1
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx dy = integral duplaD (1 - (-1)) dx dy = integral duplaD 2 , dx dy
Então, a integral dupla é igual a 2 vezes a área da região .

Passo 5

Agora, vamos calcular a área da região Área = pi r^2 = pi (2)^2 = 4pi . Como é o círculo , o raio é 2. A área de um círculo é dada por:
Á

Passo 6

Multiplicando a área por 2, temos:
2 times 4pi = 8pi

Resposta

A integral vale .

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