Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde é o círculo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A curva é um círculo com equação e está orientada no sentido anti-horário. A integral que vamos resolver é:
Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que a curva delimita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada que delimita uma região no plano, temos:
Onde e são funções que dependem de e .

Passo 3

No nosso caso, identificamos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Então, a integral dupla é igual a 2 vezes a área da região .

Passo 5

Agora, vamos calcular a área da região . Como é o círculo , o raio é 2. A área de um círculo é dada por:
Á

Passo 6

Multiplicando a área por 2, temos:

Resposta

A integral vale .

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Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde é o retângulo limitado por e .
Mostre que a integral de linha é independente do caminho.
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde é o triângulo de vértices .
Use uma integral de linha para encontrar a área do triângulo de vértices , , onde e .