Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. integralC y^3 d x-x^3 d y, C é a circunferência x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. A questão pede para calcular a integral de linha , onde é uma circunferência com equação . O Teorema de Green nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas sobre a região limitada pela curva, facilitando os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada simplesmente conexa ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy e para funções e com derivadas contínuas, temos:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, partial Qpartial x = partial (-x^3)partial x = -3x^2 :
partial Ppartial y = partial (y^3)partial y = 3y^2
Depois, :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
ointC y^3 dx - x^3 dy = integral duplaD ( -3x^2 - 3y^2 ) dx,dy = -3 integral duplaD (x^2 + y^2) dx,dy

Passo 5

A região é o interior da circunferência , que é um círculo de raio . Para calcular a integral dupla, é mais fácil usar coordenadas polares, onde e , e .
Além disso, .

Passo 6

Transformando a integral para coordenadas polares:
-3 integral duplaD r^2 cdot r,dr,dtheta = -3 integral0^2pi integral0^2 r^3 dr,dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^2 r^3 dr = [ r^44 ]0^2 = 164 - 0 = 4

Passo 8

Agora, a integral externa:
-3 integral0^2pi 4,dtheta = -12 integral0^2pi dtheta = -12 cdot 2pi = -24pi

Resposta

O valor da integral de linha é .

Exercícios relacionados