Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é a circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. A questão pede para calcular a integral de linha
, onde
é uma circunferência com equação
. O Teorema de Green nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas sobre a região limitada pela curva, facilitando os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada simplesmente conexa
e para funções
e
com derivadas contínuas, temos:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro,
:
Depois,
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Passo 5
A região
é o interior da circunferência
, que é um círculo de raio
. Para calcular a integral dupla, é mais fácil usar coordenadas polares, onde
e
, e
.
Além disso,
.
Passo 6
Transformando a integral para coordenadas polares:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 8
Agora, a integral externa:
Resposta
O valor da integral de linha é
.
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: Isso contraria o Teorema do Campo Conservativo?
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, ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
pelos planos
e
.
Mostre que a integral de linha
não é independente do caminho.
Seja
: Mostre que
não é independente do caminho. [Dica: Calcule a integral nos caminhos
e,
metade superior e inferior da circunferência
de
até
.