Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. é a circunferência .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. A questão pede para calcular a integral de linha , onde é uma circunferência com equação . O Teorema de Green nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas sobre a região limitada pela curva, facilitando os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada simplesmente conexa e para funções e com derivadas contínuas, temos:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, :
Depois, :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:

Passo 5

A região é o interior da circunferência , que é um círculo de raio . Para calcular a integral dupla, é mais fácil usar coordenadas polares, onde e , e .
Além disso, .

Passo 6

Transformando a integral para coordenadas polares:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:

Passo 8

Agora, a integral externa:

Resposta

O valor da integral de linha é .

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