Seja F(x, y) = (-y * i + x * j) / (x^2 + y^2): Isso contraria o Teorema do Campo Conservativo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial definido por F(x, y) = (-y * i + x * j) / (x^2 + y^2). A pergunta é: esse campo contraria o Teorema do Campo Conservativo? Ou seja, será que esse campo não segue as regras que definem um campo conservativo?

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele for o gradiente de uma função escalar, o que também significa que seu trabalho é independente do caminho escolhido e que a sua circulação ao longo de qualquer caminho fechado é zero. Além disso, em domínios simplesmente conectados, um campo com rotacional zero é conservativo.

Passo 3

Para verificar se F é conservativo, vamos calcular o rotacional (ou curl) de F. No plano 2D, o rotacional de é dado por:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula do rotacional:
Então, o rotacional de F é zero.

Passo 6

À primeira vista, isso sugere que o campo pode ser conservativo. Porém, temos que verificar se o domínio onde o campo está definido é simplesmente conectado. No nosso caso, o denominador x^2 + y^2 indica que o ponto (0,0) está excluído do domínio, ou seja, temos uma “lacuna” no plano.

Passo 7

Em domínios que não são simplesmente conectados, mesmo que o rotacional seja zero, o campo pode não ser conservativo. Isso ocorre porque há “laços” ao redor das lacunas que podem ter circulação diferente de zero. No caso de F, se você calcular a circulação ao redor de um círculo que envolve a origem, verá que ela não é zero.

Passo 8

Portanto, apesar do rotacional ser zero, a presença da lacuna na origem faz com que o campo F não seja conservativo. Isso contraria a expectativa do Teorema do Campo Conservativo porque o domínio não é simplesmente conectado.

Resposta

Sim, o campo F(x, y) = (-y * i + x * j) / (x^2 + y^2) contraria o Teorema do Campo Conservativo devido à presença de uma lacuna no domínio que impede que o campo seja conservativo mesmo com rotacional nulo.

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