Seja
: Isso contraria o Teorema do Campo Conservativo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial definido por
. A pergunta é: esse campo contraria o Teorema do Campo Conservativo? Ou seja, será que esse campo não segue as regras que definem um campo conservativo?
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele for o gradiente de uma função escalar, o que também significa que seu trabalho é independente do caminho escolhido e que a sua circulação ao longo de qualquer caminho fechado é zero. Além disso, em domínios simplesmente conectados, um campo com rotacional zero é conservativo.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, vamos calcular o rotacional (ou curl) de
. No plano 2D, o rotacional de
é dado por:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula do rotacional:
Então, o rotacional de
é zero.
Passo 6
À primeira vista, isso sugere que o campo pode ser conservativo. Porém, temos que verificar se o domínio onde o campo está definido é simplesmente conectado. No nosso caso, o denominador
indica que o ponto
está excluído do domínio, ou seja, temos uma “lacuna” no plano.
Passo 7
Em domínios que não são simplesmente conectados, mesmo que o rotacional seja zero, o campo pode não ser conservativo. Isso ocorre porque há “laços” ao redor das lacunas que podem ter circulação diferente de zero. No caso de
, se você calcular a circulação ao redor de um círculo que envolve a origem, verá que ela não é zero.
Passo 8
Portanto, apesar do rotacional ser zero, a presença da lacuna na origem faz com que o campo
não seja conservativo. Isso contraria a expectativa do Teorema do Campo Conservativo porque o domínio não é simplesmente conectado.
Resposta
Sim, o campo
contraria o Teorema do Campo Conservativo devido à presença de uma lacuna no domínio que impede que o campo seja conservativo mesmo com rotacional nulo.
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