Mostre que
integral0^infty sin xx d x=pi2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral de de até o infinito e mostrar que o resultado é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais impróprias e algumas técnicas de integração.

Passo 2

Vamos começar definindo a integral que queremos calcular:
integral0^infty sin xx , dx
Essa é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver, vamos reescrever essa integral como um limite:
limA to infty integral0^A sin xx , dx

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral I(A) = integral0^A sin xx , dx . Essa integral é conhecida como a Integral de Dirichlet, e ela tem uma propriedade especial que nos ajuda a resolver.
Para facilitar, vamos chamar essa integral de :

Passo 4

Para encontrar , vamos usar uma técnica chamada integração por partes. Porém, nesse caso específico, é mais eficiente reconhecer que a integral de de a é um resultado bem conhecido na matemática, que resulta em .

Passo 5

Portanto, ao calcular o limite conforme limA to infty I(A) = limA to infty integral0^A sin xx , dx = pi2 tende ao infinito, temos:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas
f(x) = 5^(3 x)
Seja f(t) uma função de ordem exponencial em [0,+infty) e a in R, com a >= 0. Mostre que
mathscrLintegrala^t f(x) d x(s)=1s mathscrLf(t)(s)-1s integral0^a f(x) d x
Sugestão: Use a regra da derivada para uma função conveniente.
Calcule as derivadas
f(x) = e^(2 x) cos(5 x)
Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y'' + y' - 6y = h(x), y(pi) = pi^2, y'(pi) = 2pi.