Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral de
de
até o infinito e mostrar que o resultado é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais impróprias e algumas técnicas de integração.
Passo 2
Vamos começar definindo a integral que queremos calcular:
Essa é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver, vamos reescrever essa integral como um limite:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a integral
. Essa integral é conhecida como a Integral de Dirichlet, e ela tem uma propriedade especial que nos ajuda a resolver.
Para facilitar, vamos chamar essa integral de
:
Passo 4
Para encontrar
, vamos usar uma técnica chamada integração por partes. Porém, nesse caso específico, é mais eficiente reconhecer que a integral de
de
a
é um resultado bem conhecido na matemática, que resulta em
.
Passo 5
Portanto, ao calcular o limite conforme
tende ao infinito, temos:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas
Seja
uma função de ordem exponencial em
e
, com
. Mostre que
Sugestão: Use a regra da derivada para uma função conveniente.
Calcule as derivadas
Resolva os seguintes problemas de valor inicial
.