Resolva os seguintes problemas de valor inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A equação que a gente tem é uma equação diferencial de segunda ordem:
E as condições iniciais são:
Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares, encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois achar uma solução particular para a equação completa. Depois, usamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, a gente assume uma solução da forma
, onde
é uma constante que a gente precisa encontrar. Substituindo na equação, temos:
Podemos dividir todos os termos por
(que nunca é zero), ficando com a equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Com os valores de
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
A forma da solução particular depende de
. Como
não foi especificado, vamos supor que
seja uma função que a gente possa lidar, tipo um polinômio, exponencial, seno ou cosseno. A ideia é escolher uma forma para
que, ao substituir na equação, satisfaça a igualidade.
Por exemplo, se
for um polinômio, a solução particular também será um polinômio de mesmo grau.
Passo 6
Então, a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, precisamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Passo 7
Aplicando a condição inicial
:
E derivando
para aplicar a segunda condição
:
Então,
Passo 8
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
):
Resolvendo esse sistema, a gente encontra os valores de
e
.
Resposta
A solução geral do problema de valor inicial é:
Onde
e
são determinados pelas condições iniciais:
e
Com isso, você consegue encontrar os valores das constantes e completar a solução da equação diferencial dada.
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