Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y'' + y' - 6y = h(x), y(pi) = pi^2, y'(pi) = 2pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A equação que a gente tem é uma equação diferencial de segunda ordem:
E as condições iniciais são:
Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares, encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois achar uma solução particular para a equação completa. Depois, usamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, a gente assume uma solução da forma , onde r é uma constante que a gente precisa encontrar. Substituindo na equação, temos:
Podemos dividir todos os termos por (que nunca é zero), ficando com a equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo:
Então, temos duas soluções:

Passo 4

Com os valores de r, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
A forma da solução particular depende de h(x). Como h(x) não foi especificado, vamos supor que h(x) seja uma função que a gente possa lidar, tipo um polinômio, exponencial, seno ou cosseno. A ideia é escolher uma forma para que, ao substituir na equação, satisfaça a igualidade.
Por exemplo, se h(x) for um polinômio, a solução particular também será um polinômio de mesmo grau.

Passo 6

Então, a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, precisamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .

Passo 7

Aplicando a condição inicial :
E derivando y(x) para aplicar a segunda condição :
Então,

Passo 8

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ):
Resolvendo esse sistema, a gente encontra os valores de e .

Resposta

A solução geral do problema de valor inicial é:
Onde e são determinados pelas condições iniciais:
e
Com isso, você consegue encontrar os valores das constantes e completar a solução da equação diferencial dada.

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Calcule as derivadas
f(x) = e^(2 x) cos(5 x)
Mostre que
integral0^infty sin xx d x=pi2
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(5.0) Resolva as seguintes integrais
© (1.0) integral tg^4(x) sec ^6(x) d x