Mostre que ao integrar a expressão
, usando os limites de integração
(inferior) e
(superior), obteremos como resultado
. Demonstre passo a passo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente integrar a expressão
usando limites de integração para chegar na solução
. A gente vai usar conceitos de equações diferenciais e integração para resolver isso. Vamos precisar lembrar como integrar funções exponenciais e manipular um pouco as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Podemos multiplicar ambos os lados por
para simplificar:
Isso agora parece uma equação diferencial de primeira ordem que podemos resolver.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis para integrar. Queremos ter todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 4
Vamos integrar os dois lados da equação. A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
, onde
�� a constante de integração:
Passo 5
Agora, queremos isolar
. Para isso, vamos aplicar a função exponencial em ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo:
Sabemos que
, e podemos reescrever
como
. Como
é apenas uma constante, podemos chamar de
(a concentração inicial):
Resposta
A solução da equação é
.