Mostre que ao integrar a expressão -d [A]d t=k[A], usando os limites de integração [A] (inferior) e [A] (superior), obteremos como resultado [A]=[A]0 e^-k t. Demonstre passo a passo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente integrar a expressão - d [A]dt = k [A] usando limites de integração para chegar na solução [A] = [A]0 e^-k t. A gente vai usar conceitos de equações diferenciais e integração para resolver isso. Vamos precisar lembrar como integrar funções exponenciais e manipular um pouco as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
- d [A]dt = k [A]
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
d [A]dt = -k [A]
Isso agora parece uma equação diferencial de primeira ordem que podemos resolver.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis para integrar. Queremos ter todos os termos com [A] de um lado e os termos com t do outro. Dividimos ambos os lados por [A] e multiplicamos por dt:
d [A][A] = -k , dt
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 4

Vamos integrar os dois lados da equação. A integral de d [A][A] em relação a [A] é ln |[A]|, e a integral de -k , dt em relação a t é -k t + C, onde C �� a constante de integração:
ln |[A]| = -k t + C

Passo 5

Agora, queremos isolar [A]. Para isso, vamos aplicar a função exponencial em ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo:
e^ln |[A]| = e^-k t + C
Sabemos que e^ln |[A]| = |[A]|, e podemos reescrever e^-k t + C como e^C cdot e^-k t. Como e^C é apenas uma constante, podemos chamar de [A]0 (a concentração inicial):
[A] = [A]0 e^-k t

Resposta

A solução da equação é [A] = [A]0 , e^-k t.

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