Mostre que ao integrar a expressão , usando os limites de integração (inferior) e (superior), obteremos como resultado . Demonstre passo a passo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente integrar a expressão usando limites de integração para chegar na solução . A gente vai usar conceitos de equações diferenciais e integração para resolver isso. Vamos precisar lembrar como integrar funções exponenciais e manipular um pouco as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Podemos multiplicar ambos os lados por para simplificar:
Isso agora parece uma equação diferencial de primeira ordem que podemos resolver.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis para integrar. Queremos ter todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 4

Vamos integrar os dois lados da equação. A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é , onde �� a constante de integração:

Passo 5

Agora, queremos isolar . Para isso, vamos aplicar a função exponencial em ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo:
Sabemos que , e podemos reescrever como . Como é apenas uma constante, podemos chamar de (a concentração inicial):

Resposta

A solução da equação é .

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