Mostre que a intensidade da luz difratada por uma fenda em função do ângulo Theta entre a reta que liga o centro da fenda a um ponto arbitrário P em uma da tela de observação e o eixo central é dada por:
I(theta)=Im(sin alphaalpha)^2
Sendo
alpha=12 phi=pi alambda sin theta

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a intensidade da luz difratada por uma fenda, em função do ângulo theta, é dada por:
I(theta) = Im(sin alphaalpha)^2
onde
alpha = 12 phi = pi alambda sin theta
Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de difração de luz por fenda única, que faz parte da óptica física. Para resolver isso, vamos precisar entender como a interferência das ondas de luz que passam por diferentes pontos da fenda afeta a intensidade observada na tela.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma fenda de largura a. Quando a luz passa por essa fenda, cada ponto da fenda atua como uma fonte de ondas secundárias que interferem entre si. O padrão de interferência resultante na tela depende do ângulo theta em relação ao eixo central da fenda.

Passo 3

Para calcular a intensidade da luz na direção do ângulo theta, precisamos somar as contribuições das ondas de todos os pontos da fenda. Isso envolve integrar as fases das ondas, levando em conta as diferenças de caminho que ocorrem devido ao ângulo theta.

Passo 4

A diferença de caminho De para um ponto na fenda a uma distância y do centro é dada por:
De
Essa diferença de caminho leva a uma diferença de fase entre as ondas provenientes de diferentes pontos da fenda.

Passo 5

A fase adicional phi devido a essa diferença de caminho é:
phi = 2pilambda De
Aqui, lambda é o comprimento de onda da luz.

Passo 6

Para calcular a amplitude resultante das ondas somadas, integramos ao longo da largura da fenda:
A(theta) = integral-a/2^a/2 e^iphi(y) dy = integral-a/2^a/2 e^i 2pilambda y sin theta dy

Passo 7

Resolvendo essa integração, obtemos:
A(theta) = 2 sin( pi alambda sin theta )2pilambda sin theta = sin alphaalpha
onde definimos:
alpha = pi alambda sin theta

Passo 8

A intensidade da luz é proporcional ao quadrado da amplitude:
I(theta) = Im | sin alphaalpha |^2 = Im ( sin alphaalpha )^2

Resposta

Portanto, mostramos que a intensidade da luz difratada por uma fenda é dada por:
I(theta) = Im(sin alphaalpha)^2
onde
alpha = pi alambda sin theta

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