Mostre que a intensidade da luz difratada por uma fenda em função do ângulo entre a reta que liga o centro da fenda a um ponto arbitrário em uma da tela de observação e o eixo central é dada por:
Sendo
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a intensidade da luz difratada por uma fenda, em função do ângulo , é dada por:
onde
Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de difração de luz por fenda única, que faz parte da óptica física. Para resolver isso, vamos precisar entender como a interferência das ondas de luz que passam por diferentes pontos da fenda afeta a intensidade observada na tela.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma fenda de largura . Quando a luz passa por essa fenda, cada ponto da fenda atua como uma fonte de ondas secundárias que interferem entre si. O padrão de interferência resultante na tela depende do ângulo em relação ao eixo central da fenda.
Passo 3
Para calcular a intensidade da luz na direção do ângulo , precisamos somar as contribuições das ondas de todos os pontos da fenda. Isso envolve integrar as fases das ondas, levando em conta as diferenças de caminho que ocorrem devido ao ângulo .
Passo 4
A diferença de caminho para um ponto na fenda a uma distância do centro é dada por:
Essa diferença de caminho leva a uma diferença de fase entre as ondas provenientes de diferentes pontos da fenda.
Passo 5
A fase adicional devido a essa diferença de caminho é:
Aqui, é o comprimento de onda da luz.
Passo 6
Para calcular a amplitude resultante das ondas somadas, integramos ao longo da largura da fenda:
Passo 7
Resolvendo essa integração, obtemos:
onde definimos:
Passo 8
A intensidade da luz é proporcional ao quadrado da amplitude:
Resposta
Portanto, mostramos que a intensidade da luz difratada por uma fenda é dada por: