Sejam e conjuntos. Use o axioma para mostrar que é um conjunto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o produto cartesiano de dois conjuntos, , é também um conjunto, usando o axioma . Isso está dentro da matéria de teoria dos conjuntos, mais especificamente trabalhando com os axiomas de Zermelo-Fraenkel. Para resolver isso, vamos precisar entender como os conjuntos e suas operações funcionam segundo esses axiomas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto cartesiano . Ele é definido como o conjunto de todos os pares ordenados onde pertence a e pertence a :
Para provar que é um conjunto, precisamos construir esse conjunto usando os axiomas disponíveis no sistema ZF.

Passo 3

O axioma que vamos usar é o Axioma da Substituição (ou Axioma de Schema de Substituição). Esse axioma nos permite construir novos conjuntos a partir de conjuntos existentes aplicando uma função ou uma regra específica. No nosso caso, a função vai associar cada par de elementos de e a um par ordenado.

Passo 4

Vamos aplicar o Axioma da Substituição: dado que e são conjuntos, podemos considerar a função que associa cada ao conjunto dos pares para todo . Esse processo reúne todos esses pares em um novo conjunto, que é exatamente .

Passo 5

Além disso, usamos o Axioma do Produto (ou Axioma de Par), que garante que para qualquer par de conjuntos, existe um conjunto que contém exatamente todos os pares ordenados possíveis entre esses conjuntos. Assim, aplicando esse axioma, confirmamos que é de fato um conjunto.

Resposta

Portanto, usando o axioma e outros axiomas de Zermelo-Fraenkel, mostramos passo a passo que o produto cartesiano é um conjunto.

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