Mostre que a inversa da matriz
é a matriz
, onde
é uma matriz inversível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a inversa da matriz
é igual a
, onde
é uma matriz que tem inversa. Basicamente, vamos trabalhar com propriedades de matrizes inversas e entender como escalar uma matriz afeta sua inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante das matrizes inversas quando multiplicamos uma matriz por um escalar. Se
é um número diferente de zero e
é uma matriz invertível, então:
Isso significa que a inversa de uma matriz escalada por
é igual à inversa da matriz original multiplicada por
.
Passo 3
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde a matriz é
, temos:
Então, a inversa de
é metade da inversa de
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a inversa de
. Outra propriedade importante das matrizes inversas é que a inversa do produto de duas matrizes invertíveis é o produto das inversas delas na ordem reversa:
Isso acontece porque quando você multiplica duas matrizes, a ordem importa, e ao inverter, a ordem se inverte.
Passo 5
Substituindo a inversa de
na expressão que encontramos no Passo 3, temos:
Isso mostra que a inversa de
é realmente
.
Resposta
Portanto, demonstramos que a inversa da matriz
é
, conforme solicitado.