Mostre que a inversa da matriz 2 A A^T é a matriz 12(A^T)^-1 A^-1, onde A é uma matriz inversível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a inversa da matriz é igual a , onde é uma matriz que tem inversa. Basicamente, vamos trabalhar com propriedades de matrizes inversas e entender como escalar uma matriz afeta sua inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante das matrizes inversas quando multiplicamos uma matriz por um escalar. Se (k M)^-1 = 1k M^-1 é um número diferente de zero e é uma matriz invertível, então:
Isso significa que a inversa de uma matriz escalada por é igual à inversa da matriz original multiplicada por .

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde a matriz é (2 A A^T)^-1 = 12 (A A^T)^-1 , temos:
Então, a inversa de é metade da inversa de .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a inversa de (A A^T)^-1 = (A^T)^-1 A^-1 . Outra propriedade importante das matrizes inversas é que a inversa do produto de duas matrizes invertíveis é o produto das inversas delas na ordem reversa:
Isso acontece porque quando você multiplica duas matrizes, a ordem importa, e ao inverter, a ordem se inverte.

Passo 5

Substituindo a inversa de (2 A A^T)^-1 = 12 (A^T)^-1 A^-1 na expressão que encontramos no Passo 3, temos:
Isso mostra que a inversa de é realmente .

Resposta

Portanto, demonstramos que a inversa da matriz é , conforme solicitado.

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