Mostre que a inversa da matriz é a matriz , onde é uma matriz inversível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a inversa da matriz é igual a , onde é uma matriz que tem inversa. Basicamente, vamos trabalhar com propriedades de matrizes inversas e entender como escalar uma matriz afeta sua inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante das matrizes inversas quando multiplicamos uma matriz por um escalar. Se é um número diferente de zero e é uma matriz invertível, então:
Isso significa que a inversa de uma matriz escalada por é igual à inversa da matriz original multiplicada por .
Passo 3
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde a matriz é , temos:
Então, a inversa de é metade da inversa de .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a inversa de . Outra propriedade importante das matrizes inversas é que a inversa do produto de duas matrizes invertíveis é o produto das inversas delas na ordem reversa:
Isso acontece porque quando você multiplica duas matrizes, a ordem importa, e ao inverter, a ordem se inverte.
Passo 5
Substituindo a inversa de na expressão que encontramos no Passo 3, temos:
Isso mostra que a inversa de é realmente .
Resposta
Portanto, demonstramos que a inversa da matriz é , conforme solicitado.