Mostre que a inversa da matriz é a matriz , onde é uma matriz inversível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a inversa da matriz é igual a , onde é uma matriz que tem inversa. Basicamente, vamos trabalhar com propriedades de matrizes inversas e entender como escalar uma matriz afeta sua inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante das matrizes inversas quando multiplicamos uma matriz por um escalar. Se é um número diferente de zero e é uma matriz invertível, então:
Isso significa que a inversa de uma matriz escalada por é igual à inversa da matriz original multiplicada por .

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde a matriz é , temos:
Então, a inversa de é metade da inversa de .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a inversa de . Outra propriedade importante das matrizes inversas é que a inversa do produto de duas matrizes invertíveis é o produto das inversas delas na ordem reversa:
Isso acontece porque quando você multiplica duas matrizes, a ordem importa, e ao inverter, a ordem se inverte.

Passo 5

Substituindo a inversa de na expressão que encontramos no Passo 3, temos:
Isso mostra que a inversa de é realmente .

Resposta

Portanto, demonstramos que a inversa da matriz é , conforme solicitado.

Exercícios relacionados

Verifique se são bases os seguintes conjuntos: no
Calcule os determinantes das matrizes abaixo sabendo que . (a)
Determine a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas:
(a) ;
Dadas as matrizes:
determine: