Verifique se são bases os seguintes conjuntos: no

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um conjunto de vetores no espaço tridimensional . A questão quer saber se esse conjunto forma uma base para .
Conteúdo da matéria: Para que um conjunto de vetores seja uma base em , ele precisa satisfazer dois critérios:
  1. Ser linearmente independente: Nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Gerar todo o espaço : Qualquer vetor em pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores do conjunto.
O que vamos precisar para resolver:
  • Verificar a linearidade dos vetores.
  • Verificar se o conjunto tem o número necessário de vetores para gerar .

Passo 2

Vamos começar verificando quantos vetores temos no conjunto. Aqui, temos dois vetores: e .
Em , para formar uma base, precisamos exatamente de três vetores. Isso porque é um espaço tridimensional, e precisamos de três vetores para cobrir todas as direções possíveis.

Passo 3

Mesmo que os dois vetores sejam linearmente independentes, eles não são suficientes para gerar todo o espaço . Vamos entender por quê:
Um conjunto de dois vetores pode gerar, no máximo, um plano dentro de . Para cobrir todo o espaço tridimensional, precisamos de um terceiro vetor que não esteja no mesmo plano definido pelos primeiros dois.

Passo 4

Vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Para fazer isso, colocamos os vetores em uma matriz e verificamos o determinante ou a possibilidade de um ser múltiplo do outro.
Construímos a matriz:
Aqui, vemos que os vetores não são múltiplos um do outro, então eles são linearmente independentes. Mas, como já vimos, apenas dois vetores não são suficientes para formar uma base em .

Passo 5

Além disso, para gerar todo o espaço $, precisaríamos de uma combinação linear dos três vetores que possa alcançar qualquer ponto nesse espaço. Com apenas dois vetores, conseguimos apenas uma combinação que varia em um plano específico dentro de .

Resposta

Não, o conjunto não é uma base para , pois contém apenas dois vetores e, portanto, não consegue gerar todo o espaço tridimensional necessário.

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(a) ;