Sejam
e
. Mostre que
é um produto interno sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função
é um produto interno no espaço
, que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para resolver isso, vamos lembrar o que define um produto interno e verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, um produto interno em um espaço vetorial deve satisfazer três propriedades principais:
- Simetria:
para quaisquer matrizes e em . - Linearidade: A função é linear em cada um dos argumentos. Vamos focar na linearidade no primeiro argumento, ou seja, para quaisquer matrizes
e em , e qualquer escalar , temos: - Positividade: Para qualquer matriz
em , e somente se for a matriz nula.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função
dada.
Passo 3
1. Simetria
Vamos verificar se
:
Como multiplicação é comutativa (
), temos:
Portanto, a simetria está satisfeita.
Passo 4
2. Linearidade no primeiro argumento
Precisamos mostrar que para quaisquer matrizes
e escalares
:
Vamos calcular o lado esquerdo:
Agora, aplicando
:
Distribuindo os termos:
Agrupando os termos com
:
Isso é igual a:
Portanto, a linearidade no primeiro argumento está satisfeita.
Passo 5
3. Positividade
Precisamos mostrar que para qualquer matriz
em
:
e
Vamos calcular
:
Cada termo é o quadrado de um número real multiplicado por um coeficiente positivo:
A soma de números não negativos é não negativa, então
.
Além disso,
apenas se cada termo for zero:
Isso implica que
é a matriz nula
.
Resposta
Assim, a função
satisfaz todas as propriedades de um produto interno em
. Portanto,
é um produto interno sobre
.