Sejam e . Mostre que
é um produto interno sobre .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função é um produto interno no espaço , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para resolver isso, vamos lembrar o que define um produto interno e verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, um produto interno em um espaço vetorial deve satisfazer três propriedades principais:
  1. Simetria: para quaisquer matrizes e em .
  2. Linearidade: A função é linear em cada um dos argumentos. Vamos focar na linearidade no primeiro argumento, ou seja, para quaisquer matrizes e em , e qualquer escalar , temos:
  3. Positividade: Para qualquer matriz em , e somente se for a matriz nula.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

1. Simetria
Vamos verificar se :
Como multiplicação é comutativa ( ), temos:
Portanto, a simetria está satisfeita.

Passo 4

2. Linearidade no primeiro argumento
Precisamos mostrar que para quaisquer matrizes e escalares :
Vamos calcular o lado esquerdo:
Agora, aplicando :
Distribuindo os termos:
Agrupando os termos com :
Isso é igual a:
Portanto, a linearidade no primeiro argumento está satisfeita.

Passo 5

3. Positividade
Precisamos mostrar que para qualquer matriz em :
e
Vamos calcular :
Cada termo é o quadrado de um número real multiplicado por um coeficiente positivo:
A soma de números não negativos é não negativa, então .
Além disso, apenas se cada termo for zero:
Isso implica que é a matriz nula .

Resposta

Assim, a função satisfaz todas as propriedades de um produto interno em . Portanto, é um produto interno sobre .

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