Sejam V=R^2 times 2 e A=(ai j), B=(bi j) in V. Mostre que
f(A, B)=a11 b11+2 a12 b12+3 a21 b21+a22 b22
é um produto interno sobre V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função é um produto interno no espaço , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para resolver isso, vamos lembrar o que define um produto interno e verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, um produto interno em um espaço vetorial deve satisfazer três propriedades principais:
  1. Simetria: f(alpha A1 + A2, B) = alpha f(A1, B) + f(A2, B) para quaisquer matrizes e em .
  2. Linearidade: A função é linear em cada um dos argumentos. Vamos focar na linearidade no primeiro argumento, ou seja, para quaisquer matrizes e em , e qualquer escalar , temos:
  3. Positividade: Para qualquer matriz em , e somente se for a matriz nula.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

1. Simetria
Vamos verificar se f(A, B) = a11 b11 + 2 a12 b12 + 3 a21 b21 + a22 b22 :
f(B, A) = b11 a11 + 2 b12 a12 + 3 b21 a21 + b22 a22
f(A, B) = f(B, A)
Como multiplicação é comutativa ( ), temos:
Portanto, a simetria está satisfeita.

Passo 4

2. Linearidade no primeiro argumento
Precisamos mostrar que para quaisquer matrizes f(alpha A1 + A2, B) = alpha f(A1, B) + f(A2, B) e escalares alpha A1 + A2 = alpha a11^(1) + a11^(2) & alpha a12^(1) + a12^(2) alpha a21^(1) + a21^(2) & alpha a22^(1) + a22^(2) :
f(alpha A1 + A2, B) = (alpha a11^(1) + a11^(2)) b11 + 2(alpha a12^(1) + a12^(2)) b12 + 3(alpha a21^(1) + a21^(2)) b21 + (alpha a22^(1) + a22^(2)) b22
Vamos calcular o lado esquerdo:
= alpha a11^(1) b11 + a11^(2) b11 + 2 alpha a12^(1) b12 + 2 a12^(2) b12 + 3 alpha a21^(1) b21 + 3 a21^(2) b21 + alpha a22^(1) b22 + a22^(2) b22
Agora, aplicando = alpha (a11^(1) b11 + 2 a12^(1) b12 + 3 a21^(1) b21 + a22^(1) b22) + (a11^(2) b11 + 2 a12^(2) b12 + 3 a21^(2) b21 + a22^(2) b22) :
= alpha f(A1, B) + f(A2, B)
Distribuindo os termos:
Agrupando os termos com :
Isso é igual a:
Portanto, a linearidade no primeiro argumento está satisfeita.

Passo 5

3. Positividade
Precisamos mostrar que para qualquer matriz f(A, A) >= 0 em f(A, A) = 0 se e somente se A = 0 :
f(A, A) = a11^2 + 2 a12^2 + 3 a21^2 + a22^2
e
a11 = 0, a12 = 0, a21 = 0, a22 = 0
Vamos calcular :
Cada termo é o quadrado de um número real multiplicado por um coeficiente positivo:
A soma de números não negativos é não negativa, então .
Além disso, apenas se cada termo for zero:
Isso implica que é a matriz nula .

Resposta

Assim, a função satisfaz todas as propriedades de um produto interno em . Portanto, é um produto interno sobre .

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