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Sejam V um espaço vetorial e T: V V um operador linear não diagonalizável cujo polinômio característico é
f=(x+1)(x-3)^3
Quais são as possibilidades para dim V-1 e dim V3 ?

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. Temos um espaço vetorial e um operador linear . O polinômio característico de é . O exercício quer saber quais são as possíveis dimensões de e .
Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com autovalores e espaços próprios de um operador linear. Vamos precisar entender conceitos como polinômio característico, autovalores, multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Para um operador linear , o polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade. As raízes desse polinômio são os autovalores de .
No nosso caso, , então os autovalores são:
  • com multiplicidade algébrica 1
  • com multiplicidade algébrica 3

Passo 3

A multiplicidade algébrica de um autovalor é quantas vezes ele aparece no polinômio característico. Já a multiplicidade geométrica é a dimensão do espaço próprio associado a esse autovalor, ou seja, .
Sabemos que para todo autovalor, a multiplicidade geométrica é no mínimo 1 e no máximo a sua multiplicidade algébrica.
Além disso, como o operador não é diagonalizável, isso significa que pelo menos um dos autovalores tem a multiplicidade geométrica menor que a multiplicidade algébrica.

Passo 4

Vamos analisar cada autovalor:
  1. Para
    • Multiplicidade algébrica: 1
    • Como a multiplicidade geométrica não pode ser maior que a algébrica, temos
  2. Para
    • Multiplicidade algébrica: 3
    • A multiplicidade geométrica pode ser 1, 2 ou 3
    • Mas, como não é diagonalizável, pelo menos um autovalor tem a multiplicidade geométrica menor que a algébrica
    • Já vimos que , que já é igual à sua multiplicidade algébrica, então a multiplicidade geométrica de deve ser menor que 3
    • Portanto, pode ser 1 ou 2

Resposta

As possíveis dimensões são:
  • ou

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