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Sejam
um espaço vetorial e
um operador linear não diagonalizável cujo polinômio característico é
Quais são as possibilidades para
e
?
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. Temos um espaço vetorial
e um operador linear
. O polinômio característico de
é
. O exercício quer saber quais são as possíveis dimensões de
e
.
Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com autovalores e espaços próprios de um operador linear. Vamos precisar entender conceitos como polinômio característico, autovalores, multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Para um operador linear
, o polinômio característico
é dado por
, onde
é a matriz identidade. As raízes desse polinômio são os autovalores de
.
No nosso caso,
, então os autovalores são:
-
com multiplicidade algébrica 1 -
com multiplicidade algébrica 3
Passo 3
A multiplicidade algébrica de um autovalor é quantas vezes ele aparece no polinômio característico. Já a multiplicidade geométrica é a dimensão do espaço próprio associado a esse autovalor, ou seja,
.
Sabemos que para todo autovalor, a multiplicidade geométrica é no mínimo 1 e no máximo a sua multiplicidade algébrica.
Além disso, como o operador
não é diagonalizável, isso significa que pelo menos um dos autovalores tem a multiplicidade geométrica menor que a multiplicidade algébrica.
Passo 4
Vamos analisar cada autovalor:
-
Para
- Multiplicidade algébrica: 1
- Como a multiplicidade geométrica não pode ser maior que a algébrica, temos
-
Para
- Multiplicidade algébrica: 3
- A multiplicidade geométrica
pode ser 1, 2 ou 3 - Mas, como
não é diagonalizável, pelo menos um autovalor tem a multiplicidade geométrica menor que a algébrica - Já vimos que
, que já é igual à sua multiplicidade algébrica, então a multiplicidade geométrica de deve ser menor que 3 - Portanto,
pode ser 1 ou 2
Resposta
As possíveis dimensões são:
-
-
ou