Mostre que para o estado fundamental de uma partícula na caixa tridimensional com lados de comprimentos e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a média do momento linear, representada por , é igual a zero no estado fundamental de uma partícula confinada em uma caixa tridimensional com lados de comprimentos , e . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre estados estacionários e operadores de momento.

Passo 2

Vamos lembrar que, na mecânica quântica, o valor esperado de um operador, como o operador momento , para um estado quântico é dado por:
Aqui, é a função de onda complexa conjugada de , e a integral é feita sobre todo o volume da caixa.

Passo 3

Para uma partícula na caixa tridimensional, a função de onda do estado fundamental ( ) é dada por:
Essa função de onda é real e simétrica em relação às coordenadas , e .

Passo 4

O operador momento em uma dimensão, por exemplo , é dado por:
Onde é a constante de Planck reduzida e é a unidade imaginária.

Passo 5

Vamos calcular a expectativa de :
Substituindo a função de onda:

Passo 6

Calculando a derivada:
Então, a integral em fica:
Pois a integral de um seno completo sobre seu período é zero.

Passo 7

Como a integral em é zero, todo o valor de será zero. O mesmo vale para e devido à simetria da função de onda.

Resposta

Portanto, a média do momento linear no estado fundamental da partícula na caixa tridimensional é .

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