Mostre que lang<=prang<==0 para o estado fundamental de uma partícula na caixa tridimensional com lados de comprimentos a, b e c.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a média do momento linear, representada por , é igual a zero no estado fundamental de uma partícula confinada em uma caixa tridimensional com lados de comprimentos , e . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre estados estacionários e operadores de momento.

Passo 2

Vamos lembrar que, na mecânica quântica, o valor esperado de um operador, como o operador momento lang<= p rang<= = integral psi^* p psi , dV , para um estado quântico é dado por:
Aqui, é a função de onda complexa conjugada de , e a integral é feita sobre todo o volume da caixa.

Passo 3

Para uma partícula na caixa tridimensional, a função de onda do estado fundamental ( psi1,1,1(x,y,z) = raiz8abc sin(pi xa) sin(pi yb) sin(pi zc) ) é dada por:
Essa função de onda é real e simétrica em relação às coordenadas , e .

Passo 4

O operador momento em uma dimensão, por exemplo px = -ihbar partialpartial x , é dado por:
Onde é a constante de Planck reduzida e é a unidade imaginária.

Passo 5

Vamos calcular a expectativa de lang<= px rang<= = integral0^a integral0^b integral0^c psi1,1,1(x,y,z) (-ihbar partialpartial x) psi1,1,1(x,y,z) , dx , dy , dz :
lang<= px rang<= = -ihbar 8abc integral0^a sin(pi xa) partialpartial x sin(pi xa) dx integral0^b sin^2(pi yb) dy integral0^c sin^2(pi zc) dz
Substituindo a função de onda:

Passo 6

Calculando a derivada:
partialpartial x sin(pi xa) = pia cos(pi xa)
Então, a integral em integral0^a sin(pi xa) cos(pi xa) dx = 12 integral0^a sin(2pi xa) dx = 0 fica:
Pois a integral de um seno completo sobre seu período é zero.

Passo 7

Como a integral em é zero, todo o valor de será zero. O mesmo vale para e devido à simetria da função de onda.

Resposta

Portanto, a média do momento linear no estado fundamental da partícula na caixa tridimensional é .

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