Mostre que
para o estado fundamental de uma partícula na caixa tridimensional com lados de comprimentos
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a média do momento linear, representada por
, é igual a zero no estado fundamental de uma partícula confinada em uma caixa tridimensional com lados de comprimentos
,
e
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre estados estacionários e operadores de momento.
Passo 2
Vamos lembrar que, na mecânica quântica, o valor esperado de um operador, como o operador momento
, para um estado quântico
é dado por:
Aqui,
é a função de onda complexa conjugada de
, e a integral é feita sobre todo o volume da caixa.
Passo 3
Para uma partícula na caixa tridimensional, a função de onda do estado fundamental (
) é dada por:
Essa função de onda é real e simétrica em relação às coordenadas
,
e
.
Passo 4
O operador momento em uma dimensão, por exemplo
, é dado por:
Onde
é a constante de Planck reduzida e
é a unidade imaginária.
Passo 5
Vamos calcular a expectativa de
:
Substituindo a função de onda:
Passo 6
Calculando a derivada:
Então, a integral em
fica:
Pois a integral de um seno completo sobre seu período é zero.
Passo 7
Como a integral em
é zero, todo o valor de
será zero. O mesmo vale para
e
devido à simetria da função de onda.
Resposta
Portanto, a média do momento linear no estado fundamental da partícula na caixa tridimensional é
.
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