Quais das combinações operador/função a seguir fornecem equações de autovalor? Quais são os autovalores das autofunções?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a combinação de operador e função dada forma uma equação de autovalor (ou autovalor), além de descobrir quais são esses autovalores. O conteúdo aqui envolve operadores lineares e autovalores, que são conceitos da Álgebra Linear e Cálculo. Vamos precisar entender o que é uma equação de autovalor e como aplicar operadores em funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação de autovalor. Ela tem a forma:
Onde
é o operador,
é a função (autofunção) e
é o autovalor. Nosso objetivo é ver se, ao aplicar o operador dado na função, obtemos a mesma função multiplicada por um número (
).
Passo 3
Vamos identificar o operador e a função na questão:
- Operador:
(derivada em relação a x) - Função:
Então, temos que verificar se:
Passo 4
Vamos calcular a derivada da função
:
Passo 5
Agora, vamos comparar o resultado da derivada com a forma da equação de autovalor:
Para que isso seja verdadeiro para todos os valores de x, o termo que multiplica
no lado esquerdo deve ser igual a
.
Passo 6
Observamos que
dependeria de x, ou seja, não é um número constante. Uma das condições para ser um autovalor é que
seja constante (não depende de x). Como aqui
varia com x, isso significa que a combinação dada não forma uma equação de autovalor.
Resposta
A combinação operador/função
não fornece uma equação de autovalor, pois não é possível encontrar um autovalor
constante que satisfaça a equação
.
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e
.
b) Ordene essas espécies em ordem crescente de temperatura de fusão.
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e
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c) Classifique a polaridade em polar ou apolar.
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Mostre que
para o estado fundamental de uma partícula na caixa tridimensional com lados de comprimentos
e
.