Quais das combinações operador/função a seguir fornecem equações de autovalor? Quais são os autovalores das autofunções?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a combinação de operador e função dada forma uma equação de autovalor (ou autovalor), além de descobrir quais são esses autovalores. O conteúdo aqui envolve operadores lineares e autovalores, que são conceitos da Álgebra Linear e Cálculo. Vamos precisar entender o que é uma equação de autovalor e como aplicar operadores em funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação de autovalor. Ela tem a forma:
Onde é o operador, é a função (autofunção) e é o autovalor. Nosso objetivo é ver se, ao aplicar o operador dado na função, obtemos a mesma função multiplicada por um número ( ).

Passo 3

Vamos identificar o operador e a função na questão:
  • Operador: (derivada em relação a x)
  • Função:
Então, temos que verificar se:

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função :

Passo 5

Agora, vamos comparar o resultado da derivada com a forma da equação de autovalor:
Para que isso seja verdadeiro para todos os valores de x, o termo que multiplica no lado esquerdo deve ser igual a .

Passo 6

Observamos que dependeria de x, ou seja, não é um número constante. Uma das condições para ser um autovalor é que seja constante (não depende de x). Como aqui varia com x, isso significa que a combinação dada não forma uma equação de autovalor.

Resposta

A combinação operador/função não fornece uma equação de autovalor, pois não é possível encontrar um autovalor constante que satisfaça a equação .

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